2.4. Критерий и правило максимума отношения правдоподобия

Положим, априорная информация отсутствует и известны только функции правдоподобия. Критерием принятия решения в данном случае будет наибольшая условная вероятность получения выборки при различных состояниях источника.

Сравнивая вероятности получения выборки при различных состояниях источника, отдадим предпочтение той гипотезе, для которой соответствующая вероятность больше. Для двухалтьтернтивных гипотез критерий максимума отношения правдоподобия представляется в виде неравенства

. (2.18)

Используя функцию правдоподобия, из (2.18) получим правило принятия решения по критерию максимума отношения правдоподобия

. (2.19)

Как видно из (2.19), правило принятия решения по критерию МОП является частным случаем правила Байеса при С_Б=1.

2.5. Критерий Неймана-Пирсона и правило принятия решений

Рассмотренные ранее критерии принятия решения не учитывали вероятности ошибок aиbпри разбиении пространства на подпространства и . В критерии Неймана-Пирсона вероятности ошибокaиbиграют ключевую роль. Согласно критерию Неймана-Пирсона при априорно заданной вероятности ошибки первого родаaи заданном объеме выборки m находится такая критическая область , для которой вероятность принимает наибольшее значение.

Зафиксируем вероятность ошибки a. Существует множество критических областей , для которых вероятность ошибкиaодна и та же, т.е.

, i = 1,2,...,

но вероятности правильного решения для различных критических областей различны.

По теореме Неймана-Пирсона среди всех возможных критических областей , для которых вероятность ошибки первого рода равнаa, вероятность правильного решения принимает наибольшее значение для критической области G₁(m), состоящей из всех тех точек , для которых

. (2.20)

Порог определяется из условия

(2.21)

2.6. Минимаксный критерий

При использовании этого критерия априорной информацией является матрица потерь и функция правдоподобия.

Правила , по которым выбираются подпространства и , зависят от потребителя (они субъективны), но число этих правил конечно. Для каждого правила , или для каждой пары и , вычисляется условное математическое ожидание потерь - условный риск (2.5), (2.6 )

(2.24)

Из каждой пары (r _0j , r _1j) выбирается наибольший условный риск :

Получили последовательность правил и соответствующие им наибольшие условные потери. Из этой последовательности правил выбирается правило d^*, обеспечивающее минимум условного риска

. (2.25)

Рассмотрим на примере построение правила принятия решений по минимаксному критерию для параметра р биномиального распределения.

Пусть случайная величина xраспределена по биномиальному закону

Задана матрица потерь

.

Относительно параметра биномиального распределения p проверяются две гипотезы

Выборка состоит из трех независимых реализаций случайной величины. Произведем проверку гипотез согласно минимаксному критерию.

Выборочное пространство состоит из элементов

000 , 001 , 010 , 011 , 100 , 101 , 110 , 111 .

Зададим произвольно 2 правила разбиения пространства (хотя их можно задать и больше)

d₁: G₀₁=(000, 010, 011): G₁₁=(001, 100, 101, 110, 111),

d₂: G₀₂=(011, 100, 101, 110); G₁₂=(000, 001, 010, 111).

Согласно формулам (2.5), (2.6) вычислим условные риски

Таким образом, имеем таблицу

d j	r 0 j	r 1 j	max r i j
d 1	0.7235	0.956	0.956
d 2	0.874	1.292	1.292

Согласно минимакcному критерию получим

.

Из двух возможных правил разбиения выборочного пространства выбираем правилоd₁, обеспечивающее минимальный риск из возможных максимальных условных рисков. Для выбранного правилаd₁определим вероятности ошибокaиb:

Как видно из приведенного примера, сначала выбирается способ разбиения выборочного пространства, рассчитываются условные риски, определяется правило, а затем рассчитываются вероятности ошибок.