358529

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ПРЕДЕЛ БЕЗ СЕКРЕТОВ

Учебно-методическое пособие

Воронеж Издательский дом ВГУ 2015

Введение

Настоящая методическая разработка не заменяет учебник, но позволяет углубить понимание предела последовательности и предела функции. В работе приведены только основные определения и теоремы, без которых нельзя приступить к решению задач. Задачи можно условно разделить на два типа: это задачи теоретические, направленные на понимание теории, и задачи вычислительные. В задачах на вычисление предела приведены основные типовые приемы вычислений, комбинируя которые и проявляя творчество можно будет приступать и к более серьезным задачам.

§ 1. Предел последовательности

Отображение f : N → R называется числовой последовательностью. Обозначим f(n) = xn; тогда последовательность записывается в виде x1; x2; : : : ; xn; : : : (сокращенно {xn}). Числа x1; x2; : : : ; xn; : : : называются членами последовательности, xn = f(n) называется общим членом последовательности.

Определение 1.1. Число a называется пределом последовательности {xn}; если для любого числа " > 0; найдется номер n0 N такой, что для всех номеров n > n0 будет выполнено неравенство |xn − a| < ":

Заметим, что |xn − a| < " a − " < xn < a + " xn U(a; "); где

U(a; ") окрестность точки a радиуса ":

Определение 1.2 (в логических символах): lim xn = a

n→∞

" > 0; n0 N; n > n0 : |xn − a| < ":

Определение 1.3 (геометрическая форма). Число a называется пределом последовательности {xn}; если для любой, заранее выбранной, окрестности U(a; ") найдется номер n0 N; такой что все члены последовательности с номерами n > n0 будут принадлежать U(a; "):

Определение 1.4 (1.3 в логических символах): lim xn = a

n→∞

" > 0; n0 N; n > n0 : xn U(a; "):

Замечание. Понятно, что во всех случаях n0 может зависеть от ": Понятие окрестности точки a можно распространить на понятие окрестности бесконечно удаленной точки:

x U(+∞; E) x (E; +∞) E < x < +∞;

xU(−∞; E) x (−∞; −E) x < −E;

xU(∞; E) x (−∞; −E) (E; +∞) |x| > E:

3

По традиции под " понимают «малое» положительное число, под E «большое» положительное число.

Тогда определения 1.3, 1.4 можно применять к случаям lim xn =

n→∞

= +∞; lim xn = −∞; lim xn = ∞.

n→∞ n→∞

Например,

lim xn = +∞ E > 0; n0 N; n > n0 : xn > E:

n→∞

В этом случае говорят, что последовательность {xn} имеет пределом +∞: Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходя-

щейся. Следовательно, xn → +∞ сходящейся не является. Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расхо-

дящейся.

Последовательность, имеющая пределом ∞ (со знаком или без), называется бесконечно большой.

Теорема 1.1. Числовая последовательность может иметь только один предел на расширенной числовой прямой.

Пример 1.1. Рассмотрим последовательность 1; 12; 13; : : : ; n1 ; : : : : Если члены последовательности наносить на числовую ось, то увидим, что соответствующие точки приближаются к нулю. Докажем по определению,

(хотя соответствующие точки на числовой оси накапливаются вблизи нуля).

Решение. Сначала напишем определение предела:

lim xn = 0 : " > 0; n0 N; n > n0 : |xn| < ":

n→∞

Пишем отрицание определения:

lim xn ≠ 0 : " > 0; n0 N; n > n0 : |xn| > ":

n→∞

4

Выберем: " = 0; 5; произвольное n0 N и возьмем n > n0; n – нечетное; тогда xn = 1; так как на всех нечетных местах в нашей последовательности xn = 1 и неравенство |xn| > " дает 1 > 0; 5:

Пример 1.3. Доказать, что xn = 2n; n = 1; 2; : : : не является сходя-

Положим n0 = [log2 E] + 1: Тогда при n > n0 будет 2n > E; т. е. lim 2n = +∞: Такая последовательность называется бесконечно большой

n→∞

и не относится к сходящимся.

Пример 1.4. lim 1 = 0: Доказать.

n→∞ n!

По определению 1.1 для произвольного " > 0 надо найти n0 N; хоть какое-нибудь, пусть с некоторым запасом, лишь бы из неравенства

5

Значит последовательность xn убывающая, начиная с первого номера. Да-

лее очевидно, что xn = 2n > 0: Это означает, что последовательность n!

ограничена снизу. В силу теоремы Вейерштрасса такая последовательность имеет предел, равный некоторому a: Пока еще мы не знаем, что a = 0: Докажем, что a = 0 :

Следствие 1. Есть и другие действия с последовательностями, вытекающие из предыдущей теоремы и свойств бесконечно малых и бесконечно больших (см. учебник).

1.1. Пусть xn → a ≠ 0; yn → 0; тогда xn → ∞: yn

1.2. Пусть xn → a ≠ 0; yn → ∞; тогда xnyn → ∞: 1.3. Пусть xn → a; yn → ∞; тогда xn + yn → ∞:

1.4. Пусть xn → a; yn → ∞; тогда xn → 0: yn

Неопределенные выражения

Если xn → +∞; yn → +∞; то xn − yn называется неопределенным выражением вида ∞−∞: Для вычисления надо сделать подходящие дополнительные действия.

Другие виды неопределенных выражений: ∞ − ∞; 0 · ∞; 0; ∞;

0 ∞

1∞; 00; ∞0:

6

Основные приемы раскрытия неопределенностей

Другие методы раскрытия неопределенностей будут изложены при вычислении предела функции.

§ 2. Последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности

Определение. Последовательность, составленная из членов последовательности {xn} и в которой порядок следования элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности {xn}; называется подпоследовательностью этой последовательности.

Теорема. Если последовательность имеет конечный или бесконечный предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.

Пример 7. Доказать, что последовательность 1; 12; 1; 13; 1; 14; : : : расходящаяся (см. пример 2).

Доказательство.

Выберем члены, стоящие на четных местах 12; 13; 14; : : : : Предел такой подпоследовательности равен 0. Выберем члены, стоящие на четных местах 1; 1; 1; : : : : Предел такой подпоследовательности равен 1. В силу вышеприведенной теоремы предел исходной последовательности не существует.

Для изучения последовательностей, предел которых не существует, вводится понятие верхнего предела, нижнего предела.

Предел подпоследовательности называется частичным пределом.

7

Определение 2.2. Наибольший частичный предел последователь-

ности {xn} называется ее верхним пределом lim xn; а наименьший ча-

n→∞

стичный предел последовательности {xn} называется ее нижним пределом

lim xn:

n→∞

Имеет место теорема, утверждающая, что у любой последовательности существует как наибольший, так и наименьший частичные пределы.

Решение. cos n2 при n = 1; 2; : : : последовательно принимает зна-

n

чения 0; −1; 0; 1; 0; −1; 0; 1; : : : : Последовательность n + 1 имеет пределом 1, а значит, и любая ее подпоследовательность имеет пределом 1. Чтобы получить возможно больший частичный предел, выберем n = 4k; k = 1; 2; : : : : Тогда

8

Пример 2.2. Найти верхний предел последовательности

()

Докажем, что это и есть наибольший частичный предел. Для этого проверим пункт 1 теоремы 1а. Проверим неравенство xn < b+"; в нашем случае xn < 1 + " будем проверять для n нечетных и четных отдельно.

Пусть n = 2k − 1; k = 1; 2; : : : :

n > 2k:

Следовательно, для " > 0 нашли n0 = 2k0; что при n > n0 :

xn < 1 + " получим lim xn = 1:

n→∞

9

§ 3. Предел функции

Основные определения

Пусть задана числовая функция y = f(x); где x D: Пусть область определения D содержит интервал ( ; ) кроме, может быть, точки x0 (a; b):

Определение 3.1 (определение по Гейне). Число a называется

пределом функции f(x) при x → x0; если для любой последовательности {xn}; xn ( ; ); xn ≠ x0; сходящейся к x0 последовательность значений функции {f(xn)} стремится к a:

Из определения 3.1 вытекает, что функция не может иметь два разных предела в одной точке x0: Значение функции f(x0) не влияет на величину предела. Точка x0 может и не принадлежать области определения функции.

Записываем символ lim f(x) = a:

Определение Гейне сохраняется и в случае, когда x0 и (или) a являются бесконечными.

Определение 3.2 (по Коши). Пусть x0 и a – конечные числа. lim f(x) = a; если для любого " > 0 существует > 0 такое, что для

всех x D и удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x0| < следует, что

|f(x) − a| < ":

Определения по Коши и Гейне равносильны (доказательство см. в учебнике).

В логических символах определение 3.2 записывается так

lim f(x) = a " > 0; > 0; x D и 0 < |x −x0| < : |f(x) −a| < ":

x→x0

Замечание. Если a и x0 бесконечны, то определение по Коши надо изменять следующим образом.

По традиции под " > 0; > 0 понимают «малые» положительные

10