Ответы к ГОСу / 18

18. Двойственный симплекс-метод, основные принципы, алгоритм. Случаи, когда удобно применять двойственный симплексный метод. (ДСМ)

ДСМ, как и СМ, называется методом последовательного улучшения оценок и применяется для решения задачи:

исходным пунктом этого метода является выбор такого базиса .

Предположим (1)

и (2)

Вектор X₀, соответствующий А_Б может быть недопустимым, так как среди его компонент могут быть отрицательные числа. Вектор X₀ называется псевдорешением

Вектор является допустимым решением двойственной задачи.

Для псевдорешения можно записать

AX = B X = A-1B

YTA = CT YT = CTA-1

Согласно взаимосвязи между значениями целевых функций исходной и двойственной задач ( F(X)  Z(Y) ) для  допустимого решения исходной задачи и допустимого решения двойственной задачи выполняется

Лемма. Для двух допустимых решений двойственной пары X = (x1, x2, …, xn) и Y = (y1, y2, …, ym) выполняется F(X)  Z(Y) ДОК-ВО: ЧТД

Таким образом, если поиск оптимального решения исходной задачи вести путем перехода от одного псевдорешения к другому, то при этом необходимо уменьшать значения целевой функции исходной задачи. Таким образом, основные принципы ДСМ заключаются в том, чтобы:

1. каждый раз выполнялось (2)

2. значения целевой функции убывало.

Определим выбор разрешающего элемента , удовлетворяющего вышеуказанным принципам. Согласно СМ можно записать:

(3)

Пусть . Вектор , тогда из (3)

Чтобы гарантировать выполнение этого неравенства для должно выполняться . (4)

Пусть .

Для условие (3) будет выполняться в силу (2) и (4).

Для условие (3) представим в виде

, так как , то знак изменится.

надо выбрать из условия (5)

Установим принцип выбора строки . Для этого воспользуемся 2-м принципом ДСМ. Учитываем

Значение . Чтобы обеспечить это надо выбрать так, что:

(6)

Алгоритм ДСМ формулируется так:

1. Выбираем базис и строим I симплекс-таблицу

2. Если все , то решение оптимально, иначе переход к 3.

3. Находим строки, где . Если для некоторой выполняется , то система несовместна,

иначе выбирается (для условности можно выбирать наименьшую отрицательную ).

4. Выбираем j₀ согласно (5). Разрешающий элемент

5. Строится новая симплекс-таблица и переходим к шагу 2.

В ДСМ, как и в СМ, возможно зацикливание в случае, когда (7)

В этом случае F не изменит значения при переходе к новому базису. Если зацикливание произошло, то можно изменить номера i₀ и j₀, то есть изменить выбор разрешающего элемента и продолжить решение. Если (7) не возникает, то зацикливания нет и целевая функция периодически убывает. Если на i-ой итерации произошло убывание целевой функции, то предыдущее базисное решение на последующих итерациях не вычисляется, и за конечное число итераций прекратиться убывание целевой функции,  найдено оптимальное решение.

Случаи, когда удобно применять ДСМ

Применимость ДСМ на практике ограничена тем, что сложно выбрать базис (1), который обеспечивает условие (2).

Укажем случаи, когда выбор базиса не представляет труда.

1) пусть имеется следующая исходная задача:

В этой задаче правые части ограничений могут быть как положительными, так и отрицательными, а все коэффициенты целевой функции .

Перейдем к дополнительным переменным:

В качестве базиса выберем .

В силу того, что , то

Таким образом, задача подготовлена к применению ДСМ.

2) в некоторых практических задачах можно обнаружить, что найденное решение не отражает действительную ситуацию. Это происходит, когда при построении ЭММ не было учтено некоторое ограничение. Это ограничение должно быть добавлено, и задача должна быть решена заново с учетом этого ограничения. Если ограничение имеет вид неравенства, то удобнее применять ДСМ.

Предположим – оптимальное решение исходной задачи на max, т.е. все .

Добавляем неравенство:

Вводим дополнительную переменную:

Составим расширенную матрицу полученной системы:

Обозначим строку i через .

Сделаем следующее преобразование последней строки матрицы A по следующей формуле:

В этом случае из вычитается линейная комбинация . В результате получаем следующую расширенную матрицу:

Каждый столбец A есть вектор A_j, записанный в базисе

Таким образом, – симплекс-таблица, построенная по методу дополнительных переменных. Надо записать в таблицу Так как вектор – базисный и , то совпадают с оценками заключительной симплекс-таблицы  задача готова к применению ДСМ, если при этом .