Ответы к ГОСу / 6

6. Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной функции. Формула Тейлора.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности т.x₀ и x получает приращение x такое, что x₀ + x не выходит за пределы этой окрестности. Рассмотрим . Если предел  и конечен, то его значение называют производной функции f в т. x₀ и говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x₀.

Дифференцируемость

Функция y = f(x) дифференцируема в точке х₀, если ее приращение в этой точке представимо в виде:

где (x) – бесконечно малая при x  0

Доказательство: () тогда , т.е. производная существует!

Главная линейная относительно x часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается:

Геометрический смысл

Придадим x приращение x и через точки M0(x0, f(x0)) и M(x0 + x, f(x0 + x)) проведем секущую. Угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, обозначим через . При стремлении x0 точка M будет перемещаться по кривой, приближаясь к M0. При этом секущая будет поворачиваться вокруг точки M0. Предельное положение, если оно существует, называется касательной к кривой в точке x0. Угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ox, обозначим через . Из треугольника M0MA  y / x = tg. Найдем С геометрической точки зрения производная равна tg угла наклона касательной к оси Ox. Из треугольника M0BA  BA / M0A = tg. Уравнение касательной: y-y0=y’(x0)(x-x0)

Т[cвязь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в т.х₀]

Если функция y = f(x) дифференцируема в т.x₀, то она непрерывна в этой точке.

(f(x) непрерывна в т x0, если 1) определена в этой точке; 2) lim f(x) (при x->x0))=f(x0))

y = f(x) дифференцируема в т.x₀ 

 функция непрерывна в т.x₀

Обратное утверждение не верно!

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например:

Простейшие правила вычисления производной

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) [производная сложной функции] пусть функция y = y(х) дифференцируема в т.х₀, а функция z = z(y) дифференцируема в т y₀ = y(х₀)? Тогда сложная функция z = z(y(х)) дифференцируема в т х₀:

1) 2) 3) 4) в силу непрерывности 5) в силу непрерывности 6) 7) z = z(y) дифференцируема в т.y0 

Формула Тейлора

Пусть функция y = y(х) определена в окрестности точки х₀ и имеет в окрестности этой точки производные до порядка (n+1) включительно. Требуется найти многочлен n-степени такой, что

Полином будем искать в виде:

Тогда этот полином имеет вид:

– многочлен Тейлора для функции f(x) в т.х₀

Разность f(x) – P_n(x) = R_n(x) – n-ый остаточный член формулы Тейлора. Тогда значение функции f(x) = P_n(x) + R_n(x)

Для него существуют различные формулы:

Форма Пеано: R_n(x) = o(x-x₀)ⁿ – бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x – x₀)ⁿ, т.е.

Форма Лагранжа: , где точка с лежит между х и х₀