Ответы к ГОСу / 4

4. Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rⁿ разложение по базису. Евклидово пространство.

Векторное (линейное) пространство

Непустое множество элементов называется векторным пространством над полем (лямбда), если выполняется следующие аксиомы:

I. V – абелева (коммутативная) группа относительно операции сложения. Означает, что определена операция сложения: (декартово произведение)

любой паре (х, у) ставится в соответствие элемент z = x + y, обладающий свойствами

1 х + у = у + х (коммутативность)

2 (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность)

3 аксиома нуля   V: x +  = x

4  x  V,  (-x) V: x + (-x) = .

(-x – противоположный к x)

V является коммутативной группой по операциям сложения.

II. пусть – поле скаляров (R – вещественное, С – комплексные)

и определены операции умножения:

Выполняются аксиомы:

5 (х) = ()х (ассоциативность)

6 ( + )х = х + х (дистрибутивность)

7 (х + у) = х + у (дистрибутивность)

, то ВП называется вещественным (ВВП)

, то ВП называется комплексным (СВП)

В любом ВП:

1)

2)

Рассмотрим на конкретных примерах:

1. – пространство строк из n чисел

x+y(x₁+y₁,…,x_n+y_n),

x=(x₁,…, x_n),

=(0,…,0) (=x),

(-x)=(-1)x=(-x₁,…,-x_n) => вещественное пространство является векторным.

2. – множество всех матриц размерности nm с обычными операциями сложения и умножения на число.

– нулевая матрица,

0=А+(-1)А => – векторное пространство.

3. – множество всех непрерывных на [a,b] функций. С обычными действиями над функциями.

Нулевой элемент = 0 – постоянная функция .

Противоположный элемент -f – противоположная функция => V – ВВП.

Размерность ВП

ВП V называется n-мерным, если в этом пространстве  хотя бы 1 линейно независимая система из n элементов, а любая система из (n+1) элемента будет линейно зависима.

n называется размерностью и обозначается n = dim V

dim V = max число линейно независимых элементов

Пример

Система линейно независима, если выполняется только когда все ,,…,=0.

Если в V имеется любое число линейно независимых элементов, то оно называется бесконечномерным.

УТВ. dim V = n любые n линейно независимых элементов образуют базис этого пространства.

Базис

Пусть V – ВП

Система называется базисом этого пространства V, если она

1) линейно независима

2) для

(любой элемент представляется как комбинация остальных элементов) – разложение элемента x по базису {e_i} с координатами (x₁,…,x_n), которые определены только в данном базисе.

xV, ! разложение, т.е. координата x_i относительно базиса определяется однозначно.

Док-во: допустим имеется еще одно разложение

Получили противоречие, ч.т.д.

Пример образует базис.

Численное значение базиса заключается в следующем: линейные операции над элементами сводятся к таким же операциям над обычными числами:

1)

2)

Система координат в R₃.

– попарно перпендикулярны, , – ортонормированный базис.

– единичные орты. Приводим к общему началу и строим систему координат.

O – начало координат Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат Получим прямоугольную систему координат. Возьмем любую точку М – она порождает радиус-вектор точки М. Координаты вектора можем найти через проекции на эти оси.

Система координат в R₂.

xm – проекция на Ox , тогда – направляющие косинусы

Евклидово пространство – вещественное векторное пространство, для которого:

1. имеется правило

2. скалярное произведение подчинено следующим аксиомам:

1) (x, y) = (y, x) (коммутативность)

2) (x₁ + x₂, y) = (x₁, y) + (x₂, y) (дистрибутивность)

3) (x, y)=(x, y)

4) (х, х) = х² >= 0,

если (х, х) = 0 => х=0.

Свойства ЕП

1 – неравенство Коши-Буняковского.

Док-во:

рассмотрим неравенство как квадратное уравнение,

Обобщение Т.Пифагора: если (х,у) = 0, т.е. ортогональные, то

(x + y, x + y) = (x, x) + (y, y).