Ответы к ГОСу / 11

11. Проверка гипотез. Критерий χ². Ошибки 1-го и 2-го рода. Лемма Неймана-Пирсона.

Статистической гипотезой называют любое предположение распределения СВ X.

Примерами гипотез явл.:

1) гипотеза о в-не мат. ожидания

a = a₀

a = Mx

2) гипотеза об однородности дисперсии (равенстве)

(примечание : б – это сигма)

б₁² = б₂² , где б₁² = DX₁ , б₂² = DX₂

Статистические гипотезы относительно неизвестного истинного значения Ө наз-ют параметрическими.

Ф-я распределения СВ X в этом случае предполагается с точностью до неизвестного параметра Ө.

Рассмотрим параметрические гипотезы:

статист. гипотезу H наз-ют простой, если она имеет вид: Ө = Ө₀ , где Ө₀ – заданное значение параметра. гипотезу H наз-ют ложной, если она имеет вид:

H: Ө Є D, где D – некоторое мн-во значений параметра Ө, состоящее более чем из одного элемента.

Примерами сложных гипотез явл.: Ө<Ө₀ , Ө>Ө₀ , Ө ≠ Ө₀

Рассмотрим случай проверки двух больших гипотез вида:

H₀ : Ө = Ө₀ , H₁ : Ө = Ө₁ , где Ө₀ , Ө₁ – два заданных различных значения параметра Ө .

Гипотезу H₀ наз-ют основной, а гипотезу H₁ альтернативной или конкурирующей. По данным конкретной выборки ( x₁, x₂,…, x_n)= x_n (с чертой сверху) необходимо принять решение о справедливости одной из указанных гипотез.

Критерием или статист. критерием проверки гипотез наз-ют правило, по которому по данным выборки необходимо принять решение о справедливости одной из гипотез. Критерий задают с помощью критического мн-ва: W c x_n , где x_n – выборочное прост-во случ. выборки x_n (с чертой сверху)=( x₁, x₂,…, x_n). Т.обр. принимается решение:

1) если конкретная выборка x_n (с чертой сверху) Є W, то H₀ отклоняется и принимается гипотеза H₁ (гипотезу H₁ при этом считают доказанной);

2) если x_n (с чертой сверху) не принадлежит W, то принимается гипотеза H₀ и отклоняется гипотеза H₁ (гипотеза H₀ при этом считается непротиворечивой данной выборке).

При использовании любого критерия возможны ошибки 1-го и 2-го рода.

Ошибка 1-го рода – это принять альтернативную гипотезу H₁ , когда верна основная H₀ , т.е. ошибка отклонения от правильной основной гипотезы.

Ошибка 2-го рода – это принять основ. гипотезу H₀ , когда верна альтернат-я гипотеза H₁(т.е. это ошибка состоящая в принятии неправильной основной гип-зы).

Вероятность α совершить ошибку первого рода вычисляют по формуле:α =P(x_n(с чертой сверху) Є W│H₀) и наз-ют ур-ем значимости критерия

Вероятность β совершить ошибку второго рода вычисляют по формуле:β = P ( x_n(с чертой сверху) Є W(с чертой сверху) │H₁), а в-ну (1-β) наз-ют мощностью критерия (вер-сть отклонить осн. гипотезу H₀, когда она неверна).

При построении критерия для проверки параметрических гипотез, как правило стараются max его мощность (min вер-сть ошибки второго рода), при фиксир. значении вер-сти α ошибки первого рода.

Одновременно min α и β при заданном V выборки нельзя.

Наиболее мощный критерий при заданном ур-нии значимости α наз-ют оптимальным. Построение оптим. критерия для проверки простых гипотез H₀ : Ө = Ө₀ , H₁ : Ө = Ө₁ осуществляют на основании следующей леммы.

Лемма Неймана-Пирсона.

Л.: критическим мн-вом опт. критерия для проверки двух простых гипотез H₀ : Ө = Ө₀ , H₁ : Ө = Ө₁ , при заданном уровне значимости α явл. мн-во:

W* = {x(с чертой сверху) Є χ_n│ φ (x_n(с чертой сверху)) ≥ C_φ} , (1)

где const C_φ определяют исходя из усл-я:

P(φ (X_n(с чертой сверху)) ≥ C_φ │H₀ ) = α (2)

φ(X_n(с чертой сверху)) = L (X₁, X₂,…, X_n, Ө₁) - ф-я случ.

L (X₁, X₂,…, X_n, Ө₂) выборки

X_n(с чертой сверху)= (X₁,X₂,…,X_n), называемая отношением правдоподобия.

L (X₁, X₂,…, X_n, Ө₁)

L (X₁, X₂,…, X_n, Ө₂) – ф-ции правдоподобия случ. выборки.

Рассмотрим построение оптим. критерия Н.-Пирсона, при проверке простых гипотез относительно параметра a нормального закона распределения, с известной дисперсией σ².

H₀ : a = a₀ , H₁ : a = a₁

1) a₀ < a₁ ; 2) a₀ > a₁ ; 3) a₀ ≠ a₁

Ф-ция правдоподобия имеет вид:

L (X₁, X₂,…, X_n, a) = П e / б √2П (П- произведение по i=1 до n, e в степени –(x_i - a)² / 2б² , √2П – корень из двух пи ) = (1/ б √2П)ⁿ * e (e в степени ∑ –(x_i - a)² / 2б², ∑ i=1 до n )

(3)

Отношение правдоподобия:

φ( x₁, x₂,…, x_n) = L(x_n(с чертой сверху), a₁) = e

L(x_n(с чертой сверху), a₀)

( e в степени ∑ [(x_i – a₁)² -(x_i – a₀)² ]/ 2б² ,∑ i=1 до n )

∑(x_i² - 2 x_i a₁+ a₁² - x_i² + 2 x_i a₀ - a₀² = -2 ∑(x_i ( a₁ - a₀) + n a₁² - na₀² = - 2( a₁ - a₀) ∑x_i + n (a₁² - a₀² ) (∑ по i=1 до n)

φ( x₁, x₂,…, x_n) = e (в степени ( a₁ - a₀) ∑x_i / б²) * e (в степени -(a₁² - a₀² )n/ 2б²)

Далее необходимо решить неравенство и найти const C_φ :

φ (X_n(с чертой сверху)) ≥ C_φ (4)

(4) ~ ∑x_i ≥ C (с волной) (5) , где

C (с волной) = б²(ln C_φ- n( a₁ - a₀)²/2 б²)/ ( a₁ - a₀)

C (с волной) выбирают из усл-я :

P (∑x_i ≥ C (с волной)│a=a₀) = α

Так как СВ X_i имеет нормальный з-н распределения:

X_i ~ N( n a₀, б√n)

∑x_i /n = X (c чертой сверху) ~ N(a₀, б / √n)

P(∑x_i≥C(с волной)│a=a₀)= P(C (с волной) ≤ ∑x_i <∞│a=a₀) = Ф(∞) – Ф ((C (с волной) - na₀) / б √n) =

= 1- Ф ((C (с волной) - na₀) / б √n)

1- Ф ((C (с волной) - na₀) / б √n) = α (6) =>C(с волной) = ?

Ф ((C (с волной) - na₀) / б √n) = 1 - α

Пусть (C (с волной) - na₀) / б √n = U_α

Ф(U_α) = 1 – α (7)

Решая ур-е (7) относительно неизвестного аргумента U_α при заданном α (н-р с помощью статистических таблиц), находим U_α и следует

С(с волной)= U_α б √n +na_o

С(с волной)= na_o + U_α б √n

При этом вероятность ошибки 2-го рода

β=Р(∑x_i <C (с волной)/ а=а₁)=Ф(C(с волной)-nа₁ / б √n )

будет минимальной при заданном значении α. Таким образом критерий для проверки 2-х простых гипотез будет определяться множеством :

W*={x_n(c чертой сверху)Єχ_n │∑x_i = x(c чертой сверху)n > na_o + U_α б √n }

W*={ x_n(c чертой сверху)Єχ_n │x(c чертой сверху) > a_o + +U_α б / √n }

т.е. оптим-м критическим множеством явл-ся множ-во всех значений случ. выборок, для которых среднее арифметическое выборки удовлетворяет условиям Х(с чертой) > а₀ + U_αб/ √n(если это условие выполняется , то основная гипотеза отклоняется, в противном случае принимается)

Аналогично для случая a_o > а₁ оптимальное критическое множество : W^{* =} { x_n(c чертой сверху)Єχ_n │x(c чертой сверху) < a_o - U_α б / √n }

Если же проверяется гипотеза a_o ≠ а₁, то оптимальное критическое множество :

W^{* =} { x_n(c чертой сверху)Єχ_n │(x(c чертой сверху) < a_o - U_α/2 б / √n ) U(объединение)( x(c чертой сверху) > a_o + +U_α/2 б / √n)}

На практике для проверки параметрических гипотез поступают след. образом:

- вводят в рассмотрение статистику критерия (необходимую СВ, з-н распределения которой, при условии, что основная гипотеза верна, известен) и строят в этом случае не критич. мн-во W, а критич. мн-во значений статистики критерия. Например в случае проверки двух простых гипотез H₀ : a = a₀ , H₁ : a = a₁ , при известной дисперсии б² в качестве статистики критерия рассматривают СВ:

U = (x(c чертой сверху) - a_o ) / б / √n ) , которая имеет стандартный норм. з-н распределения и строят критич. мн-во значений статистики критерия.

В случае:a₁ > a₀ (U_α, +∞)

a₀ > a₁ (-∞, - U_α)

a₀ ≠ a₁ (-∞, - U_α/2) U(объединение) (U_α/2, +∞),

где U_α, U_α/2 – критические точки статистики критерия , вычисляемые по заданному α.

Схема проверки параметрических гипотез выглядит так:

1) по выборке x_n (с чертой сверху)=( x₁, x₂,…, x_n) вычисляют наблюдаемое значение статистики критерия;

2) по заданному уровню значимости α вычисляют критические точки статистики критерия и строят критич. мн-во значений статистики критерия;

3) принимают статистическое решение: если U_{наблюдаемое} Є критическому мн-ву, то основную гипотезу H₀ отклоняют и принимают альтернативную гипотезу, в противном случае принимают основную гипотезу H_0.