Основы энергосбережения в вопросах теплообмена - Фокин В.М. 2005г

Добавил:

Mehanik Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Теплотехника

Файл:

2πλL(T1 −T2 )(P −1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2023

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Инфильтрация G характеризует количество холодной жидкости, проникающей сквозь ка-

пиллярно-пористую плоскую или цилиндрическую стенку, через единицу поверхности F в единицу времени. Если при этих же условиях горячая жидкость протекает сквозь стенку в обратном направлении, то такой процесс называется эксфильтрацией. Распределение температуры в плоской и цилиндрической стенке при инфильтрации показано на рис. 3.5.

Т1

dТ

Т2

б)

а)

Рис. 3.5. Распределение температуры в плоской (а) и цилиндрической (б) стенке при инфильтрации

Количество теплоты Q, поглощаемое в единицу времени протекающей сквозь плоскую стенку F жидкостью (отрицательный источник теплоты) на участке пути dx (рис. 3.5, а), определяется по

формуле

dQж = −WdV = −WFdx,

где W − теплота, поглощаемая единицей объема V в единицу времени.

С другой стороны, по закону теплофизики

dQж = −сFGdT ,

где G − удельная инфильтрация плоской стенки. Следовательно,

W = сG dTdx .

Тогда дифференциальное уравнение Пуассона, описывающее явление теплопроводности, примет

вид

d2T	+	W	=	d2T	+	сG dT	= 0.

dx2		λ		dx2		λ dx

После введения обозначений P =

сG

u =

оно перепишется в виде

+ Pu = 0, откуда

T = −

e−Px +С ;

T = −

+ С ; T = −

e−Pδ + С .

Окончательно имеем:

T =T1

−

T1 −T2

(1−e−Px );

q(x) = −λ

= λP

T1 −T2

e−Px .

1−e−Pδ

Тепловой поток:

Q = q(δ)F = λPF

T1 −T2

e−pδ или

Q =

Qж

1−e−Pδ

e+Pδ −

При эксфильтрации в плоской стенке температурная кривая будет выпуклой, а во всех полученных соотношениях знак впереди P изменится на обратный (внутренний источник теплоты в этом случае будет положительным).

Количество теплоты, поглощаемое в единицу времени жидкостью (рис. 3.5, б), протекающей сквозь капиллярно-пористую цилиндрическую стенку (отрицательный источник теплоты), на участке пути dr , может быть определено по формуле dQж = −WdV = −WFdr.

С другой стороны, dQж = −cFGdT . Следовательно,

W = cG dTdr = 2(πcρ)rL dTdr ,

где G = 2πρrL – удельная инфильтрация; ρ – полная инфильтрация через цилиндрическую стенку.

Тогда дифференциальное уравнение Пуассона, описывающее явление, примет вид

d2T

1 dT

d2T

cρ 1 dT

= 0.

+ 1

dr2

r dr

dr2

2πλL r dr

После обозначения P =1+

cρ

, u =

оно перепишется в виде

+ P

u = 0, откуда

2πλL

T = −D (P1−1)r1(P1−1) + С ;

T1 = −D (P1−1)r1(P1−1) + С ;

T2 = −D (P1−1)r2(P1−1) + С .

Окончательно имеем:

				T	−T					1					1
T =T −			1			2						−					;
T =T −			1			1						−					;
1			1			1			r(P−1)					r(P−1)
1					−				1

		r(P−1)				r(P−1)
			1			2
Q(r) = −λ	dT			2πrL =			πL(T1 −T2 )(P −1)										1	.
Q(r) = −λ	dr			2πrL =		1				1			1			rP−1		.
											−
										(P−1)	−	r
							2λ r			(P−1)		r	(P−1)
								1				2

Тепловой поток

rr2 (Pж−1) −1 .

При эксфильтрации в цилиндрической стенке температурная кривая может оказаться выпуклой. Ввиду того, что внутренний источник теплоты в этом случае будет положительным, постоянная Р во всех полученных соотношениях будет определяться как разность

P =1− 2πλcρL .

В частном примере, когда сρ = 1, распределение температуры в цилиндрической стенке

2πλL

становится прямолинейным, ибо при P = 0 явление в цилиндрической стенке начинает описы-

ваться уравнением d2T = 0. dr2

4.НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

ВТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

4.1.ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Явление нестационарного распространения теплоты в одномерном пространстве твердого тела описывается дифференциальным уравнением

∂Т	= а	∂2Т .	(4.1)
∂τ		∂х2

Любая функция Т = f (х, τ) будет решением этого уравнения, если при подстановке в него она дает тождество. Пусть Т = U (τ) V (х). Тогда

∂Т	′	∂2T	′′
∂τ
	=U (τ)V(x) ;	∂x2 =U(τ)V (x).

После подстановки в дифференциальное уравнение получается

		′		′′	2
		U (τ)	V (x)		2
′	′′				= −k .
′	′′	аU(τ)= V(x)
V(x)U (τ)= аV	(x)U(τ) или	аU(τ)= V(x)

Переменные τ и х являются независимыми друг от друга аргументами. Это означает, что параметр k2 может быть только постоянным. Тогда дифференциальное уравнение в частных производных (4.1) можно представить в виде системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

U′(τ)

V′′(x)

+ak2U(τ) = 0;

+k2V(x) = 0,

которые будут иметь решения, соответственно:

U(τ)= C e−аk2τ	и V(x)= C	e−ikx + C	e+ikx .
1	2	3
Учитывая известные соотношения

e−ikx = coskx−isinkx , e+ikx = coskx+ isinkx,

можно записать V (x)= C4 coskx+ C5 sinkx . Тогда

Т = Dcos(kx)e−аk2τ + Bsin(kx)e−аk2τ

(4.2)

есть общее решение дифференциального уравнения теплопроводности (4.1), а постоянные D, B, k определяются при более конкретной постановке задачи.

Если явление распространения теплоты описывается дифференциальным уравнением в цилиндрической системе координат

∂Т		∂2Т			1	∂T
	= а		2	+			,	(4.3)
	= а			+			,	(4.3)
∂τ		∂r			r
∂τ		∂r			r	∂r

то

T = DJ0(kx)e−аk2τ + BJ1(kx)e−аk2τ ,

(4.4)

где

J0(kх)

–

функция

Бесселя

первого

рода

нулевого

порядка;

J1(kх) – функция Бесселя первого рода первого порядка.

Если явление распространения теплоты описывается дифференциальным уравнением в сфериче-

ской системе координат

∂Т

∂2Т

2 ∂T

= а

∂τ

∂r

r ∂r

то подстановкой Ζ = (rT) его можно свести к уравнению

∂Ζ = а

∂2Ζ

, решение которого уже известно.

∂τ

∂r2

4.2. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ КОНВЕКТИВНОМ ОХЛАЖДЕНИИ

Пластина, равномерно нагретая до температуры Т0 (рис. 4.1), в момент времени τ = 0 помещается в среду с температурой Тс и охлаждается одинаковым образом с обеих сторон путем теплоотдачи с коэффициентом α. Математически такой процесс описывается следующими уравнениями.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

∂Т = а		∂2Т	;	(4.5)
∂τ		∂х2
• условие симметрии
	∂Т	= 0;		(4.6)
		= 0;		(4.6)
	∂х х=0

• условие на границе

	∂Т	= α(Tп −Тс );	(4.7)
− λ
− λ
	∂х	х=R
• начальное условие
		Тτ=0 =Т .	(4.8)

Уравнения (4.6) – (4.8) называются также краевыми условиями, или условиями однозначности. Они описывают физическую картину в начале процесса и на границах тела, благодаря чему в общем решении дифференциального уравнения теплопроводности находятся константы D, B, k и решение становится конкретным.

Решение уравнений (4.5) – (4.8) оказывается более удобным, если ввести новую переменную ϑ = T − Tc. Тогда

∂ϑ		= а	∂	2ϑ	;	(4.9)
∂τ		= а	∂x2		;	(4.9)
∂τ			∂x2
	∂ϑ			= 0;		(4.10)
				= 0;		(4.10)
	∂x x=0
	∂ϑ			= αϑп ;		(4.11)
− λ				= αϑп ;		(4.11)
	∂x x=R
(ϑ)τ=0 = ϑ0 .						(4.12)

Дифференциальное уравнение (4.9) аналогично (4.1), поэтому его общее решение будет

ϑ = Dcos(kx)e−аk2τ + Bsin(kx)e−аk2τ .

Подстановка общего решения в условия симметрии (4.10) дает B = 0. Следовательно,

ϑ = Dcos(kx)e−аk2τ .

Последнее выражение при подстановке в граничное условие (4.11) приводит к характеристическому уравнению

	1		αR
сtgµ =		µ µ = kR; Bi =
	Bi		λ

с бесчисленным множеством дискретных чисел: µ1, µ2, µ3, …, µn. Таким образом,

∞		x		−µn2	аτ
					2
ϑ = ∑Dn cos	µn		e		R	.

n=1		R

Для определения константы D необходимо использовать начальное условие (4.12) и свойство ортогональных функций.

При τ = 0

∑∞ Dn cos µn Rx = ϑ0

n=1

или

D1 cosµ1 Rx + D2 cosµ2 Rx + D3 cosµ3 Rx +...= ϑ0 .

После умножения на cosµ

и интегрирования в пределах от −R до +R:

1 R

∫

cos

µ1

+ D2

∫ cos µ2

cos µ1

−R

+ D3

∫

cos µ3

cos µ1

+...= ϑ0

∫

cos

µ1

dx.

−R

На основании свойств ортогональности

∫ cos

µ1

dx = ϑ0

∫ cos µ1

dx ,

−R

откуда

D1 = ϑ0

2sinµ1

µ1 +sinµ1 cosµ1

Действуя точно таким же способом с индексами 2, 3, …, n, можно найти D2, D3, ..., Dn. Окончательно имеем

∞

2sinµn

cos(µn Х )e−µn2Fo ,

θ =

= ∑

(4.13)

ϑ0

µn +sinµn cosµn

n=1

где

θ =

T −Tс

;

X =

; Fо=

аτ

– соответственно безразмерная температура, координата и время (кри-

−T

терий Фурье).

Когда имеет место нагрев, решение (4.13) остается без изменения. Однако под температурным ком-

плексом следует понимать отношение θ =

Tс −T

T −T

с 0

Значение температурного поля позволяет определить удельный тепловой поток на поверхности как

∂T

λϑ

∞

2µ

sin2

−µ2Fо

q = −λ

∑

+sinµ

cosµ

∂x

x=R

n 1

и среднюю температуру тела в любой момент времени

1	∞		2sin	2	µn	e−µn2Fо .
θср = ∫θdX = ∑			2sin		µn
θср = ∫θdX = ∑		2
0	n=1	µn + µn sinµn cosµn

Для бесконечного цилиндра температурное поле находится аналогичным математическим методом:

∞

(µ

)

−µ2Fо

θ = ∑

(4.14)

µn

(µ

)+ J

(µ

)]

n 1

При этом дискретные µn числа определяются из характеристического уравнения

J0(µ) = 1 µ,

J1(µ) Bi

	λϑ	∞	2µn J12(µn )		−µ2Fо			2	R	(Tr)dr .
q =	0	∑n=1		e	n	,	Tср =		∫0
	R		µn [J02(µn )+ J12(µn )]					R2

Безразмерный комплекс Bi = αλR , входящий в структуру уравнений для определения дискретных

чисел (критерий Био), характеризует теплообмен на границе тела и теоретически может принимать значения от нуля до бесконечности. Обычными значениями этого критерия характеризуются граничные условия третьего рода, когда заданы закон теплообмена и температура окружающей среды. При Bi → ∞ имеет место Tп → Тс. Граничные условия третьего рода переходят в граничные условия первого рода, когда вместо закона теплообмена задается температура на поверхности тела. В этом случае характеристические уравнения для пластины и цилиндра, соответственно, cosµ = 0; J0(µ)= 0, а решения (4.13) и (4.14) примут форму, соответственно:

∞

θ = ∑(−1)n+1

cos(µn X )e−µn2Fо ;

µn

n=1

∞

−µ2Fо

θ = ∑

µn

(µ

)

n 1

Для практических инженерных расчетов на рис. 4.2 – 4.5 приведены номограммы для определения температуры в центре и на поверхности пластины и цилиндра при заданных значениях Fo и Bi.

4.3. МЕТОД ПЕРЕМНОЖЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ КРИТЕРИЕВ

Температурное поле в призме прямоугольного сечения. Прямоугольная призма (брус) бесконечных размеров как фигура может быть образована пересечением двух неограниченных пластин, толщина ко-

торых соответствует ее двум измерениям (рис. 4.2). Температурное поле в таком теле может быть найдено путем перемножения известных температурных критериев для двух неограниченных пластин:

θxy = θx θy .

(4.15)

Здесь θx – температурное поле в неограниченной пластине толщиной 2R1 с координатой пространства х; θy – температурное поле в неограниченной пластине толщиною 2R2 с координатой пространства y.

у2

0 х

2R1

2R2

Рис. 4.2. Пересечение двух неограниченных пластин, образующих призму прямоугольного сечения

При охлаждении выражение (4.15) имеет вид

Т(х,y,τ)−Тс	=	Т(х,τ)−Тс		Т(y,τ)−Тс	.
Т0 −Тс		Т0 −Тс		Т0 −Тс

При нагреве выражение (4.15) записывается как

Тс −Т(х,y,τ)	=	Тс −Т(х,τ)		Тс −Т(y,τ)	;
Тс −Т0		Тс −Т0		Тс −Т0

• для точки 0

θх=0 = θх=0 θy=0 ;

y=0

• для точки 1

θxy==R01 = θx=R1 θy=0 ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теплотехника

#
23.02.20231.02 Mб10Котельные установки и парогенераторы( метод указания для курсового) 2004г..pdf
#
23.02.20234.79 Mб122Котельные установки и парогенераторы(тепловой расчет парового котла) - Бойко Е.А. 2005г..pdf
#
23.02.20232.6 Mб13Курс лекций по теплотехнике - Скрябин В.И..pdf
#
23.02.20231.58 Mб2Леонтьев - Курс Лекций По Термодинамике.mht
#
23.02.20231.15 Mб4Основы теплоиспользования - Баранов В.М. 2005г..pdf
#
23.02.20231.23 Mб7Основы энергосбережения в вопросах теплообмена - Фокин В.М. 2005г.pdf
#
23.02.20232.37 Mб9Основы энергосбережения и энергоаудита - Фокин В.М. 2006г..pdf
#
23.02.2023369.29 Кб10Расчет водяного экономайзера - Быченок В.И. 2006г.pdf
#
23.02.2023799.47 Кб8Расчет тепловых процессов топки котла(метод указания для курсового) - Баранов В.М. 2003г.pdf
#
23.02.202328.3 Mб7Справочник - Физические величины - Григорьев И.С. Мейлихов Е.З. 1991г..djvu
#
23.02.20232.29 Mб16Теоретические основы теплотехники - Ляшков В.И. 2002г..pdf