Основы энергосбережения в вопросах теплообмена - Фокин В.М. 2005г

В качестве примера для расчета расхода тепла методом графического изображения теплового потока выберем кладку квадратного сечения, общий вид и расчетный участок которого приведены на рис. 2.7.

λ; L

723 К

323 К

Рис. 2.7. Расчетный участок кладки квадратного сечения по методу графического изображения теплового потока:

Nm = 8, Nn = 8, (T1 – T2) = 400 К

Ввиду симметрии графические построения достаточно выполнить для восьмой части кладки квадратного сечения. Число трубок тока Nm = 8. Число приростов температур Nn = 8. Полный перепад тем-

ператур (Т1 – Т2) = 723 – 323 = 400 К. Фактор формы тела равен ξ = Nm = 8 = 1. Приросты температуры

Nn 8

∆T = −T1 −T2 = 723− 323 =50 К.

Nn 8

Температуры Tа, Tb и Tс рассчитываются путем вычитания от Т1 или путем прибавления к Т2 соответствующего числа прироста температуры ∆Т:

Ta =T1 − 6,2∆T = 723− 6,2 50 = 413 К;

Tb =T1 − 4,8∆T = 723− 4,8 50 = 483 К;

Tc =T1 − 4,2∆T = 723− 4,2 50 = 513 К.

В среднем через одну восьмую часть кладки проходит

Qср = ξλL(T1 −T2) =1 λL(723− 323) = 440λL, Вт.

Полный тепловой поток расчетного участка кладки

Qобщ = 8Qср = 3520λL, Вт.

2.5. ЭЛЕКТРОТЕПЛОВАЯ АНАЛОГИЯ

Известно, что распространение теплоты и электричества описывается совершенно аналогичными по форме дифференциальными уравнениями, в силу чего они решаются с одинаковой степенью трудности. Однако экспериментальное определение поля электрического потенциала гораздо проще, а электротепловая аналогия используется для определения тепловых потоков в телах сложной формы (рис. 2.8).

Распространение теплоты в двухмерном пространстве описывается дифференциальным уравнением Лапласа:

Введем обозначения:

Тогда

Количество теплоты, проходящей через элементарную площадку:

Если обозначить N = nl , S = ls , то dQ = − ∂∂NΘ dSλL(T1 −T2 ), откуда

Q = ∫− ∂Θ dS λL(T1 −T2 )= ξтλL(T1 −T2 ),

∂N

Распространение электричества в двух измерениях также описывается дифференциальным уравнением Лапласа

∂2U + ∂2U = 0, ∂x2 ∂y2

а количество электричества, проходящего через элементарную площадь,

dJ = −Э∂∂Un dS L .

Действуя точно таким же образом, можно получить

соответственно,

Предполагается абсолютное геометрическое подобие тепловой и электрической систем (Nт = Nэ; Sт

= Sэ; Xт = Xэ; Yт = Yэ) и если

Q = U, то из выражений (2.13) и (2.15) следует ξт = ξэ . Равенство теплового и электрических потенциа-

лов в их безразмерной форме вытекает из аналогии дифференциальных уравнений (2.12) и (2.14), для которых общие решения должны описываться функциями одного и того же вида:

Согласно (2.11) и (2.12) для тепловой схемы и контуров тела, обозначенных номером 1 и 2:

Θ1 = f (X1,Y1,С,D)=1; Θ2 = f (X2,Y2,C,D)=0.

То же для электрической схемы с учетом (2.16):

U1 = f (X1,Y1,E,M)=1, U2 = f (X2,Y2,E,M)= 0.

Все эти уравнения позволяют доказать равенство констант интегрирования (C = E; D = M), а следовательно, и равенство безразмерных потенциалов Θ = U. Таким образом ξт = ξэ = ξ.

Для технического выполнения метода электротепловой аналогии и определения теплового потока, проходящего через тело сложной конфигурации, требуется следующее.

1)Из электропроводной бумаги вырезают образец в виде прямоугольника и модель-сечение, подобное исследуемому тепловому оригиналу (например, как на рис. 2.8). Электропроводную бумагу берут из одной выпущенной партии для соблюдения электропроводности и толщины бумаги. Геометрическая конфигурация электрической модели должна быть выполнена в строгом соответствии с геометрической конфигурацией образца без каких-либо излишеств.

2)По контурам электропроводной бумаги для модели и прямоугольника равномерно и достаточно плотно (для обеспечения контакта) устанавливают медные шины с электрическим потенциалом.

3)Вначале определяется фактор формы ξп электропроводной бумаги прямоугольной формы путем измерения линейкой ее геометрических параметров (размеров) – высоты h и ширины δ. Фактор формы

определяется как отношение ξп = h / δ.

4)Замеряют показание потенциала U1 при постоянном значении напряжения в системе (при нейтральном положении тумблера).

5)Замеряют значения тока J, напряжения U на прямоугольнике (при правом положении тумблера) и

6) Замеряют значения тока J, напряжения U на модели (при левом положении тумблера) и вычис-

7) Тепловой поток через тело-оригинал (т) от контура Т1 до контура Т2 находится простым расчетом:

Qт = ξмод λтLт (T1 −T2 ), Вт.

3. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ОСОБЫХ УСЛОВИЯХ

3.1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ РАВНОМЕРНОМ ВНУТРЕННЕМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИИ

Явление стационарного распространения теплоты в неограниченной пластине (2R << L; h) при равномерном внутреннем тепловыделении (W = const) описывается дифференциальным уравнением теплопроводности в форме одномерного уравнения Пуассона (рис. 3.1):

d2T + W = 0, dx2 λ

откуда

dTdx = −Wλ x+ С1 , T = − W2λ x2 + С1x +С2 .

находится вторая константа интегрирования С2 = WR2α + WR4λ2 +Tс .

Распределение температуры в бесконечном цилиндре будет иметь вид

Распределение потока теплоты

Характерные температуры

3.3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В СТЕРЖНЯХ

Анализируя тепловую работу стержня или ребра, обычно отмечают два случая распространения теплоты в системе (рис. 3.3).

Если поток тепла не достигает вершины l и успевает израсходоваться по пути через поверхность (ux), то говорят о теплопроводности стержня бесконечной длины. Физически это означает, что температура вершины стержня оказывается равной температуре окружающей среды Tc.

Если поток тепла достигает вершины l и не успевает израсходоваться по пути через поверхность (ux), то говорят о теплопроводности стержня конечной длины.

Согласно закону теплоотдачи с поверхности, элемент поверхности стержня (u dx) теряет в окружающую среду теплоту путем отдачи конвекцией:

f = Lδ

l

Рис. 3.3. Прямой стержень постоянного сечения (ребро охлаждения):

Qх = 0 – охлаждающая способность стержня;

α – коэффициент теплоотдачи с боковых поверхностей; Т0 – температура у основания стержня;

λ – коэффициент теплопроводности материала стержня Формально можно считать, что теплота поглощается отрицательным (воображаемым) источником

внутри объема жидкости dQ = −Wfdx . Тогда

W = − αfu (T −Tс ).

Для определения охлаждающей способности стержня может быть использован закон теплоотдачи с поверхности (3.1):

где F = uϑ, ϑ = T – Tc или закон теплопроводности через основание ребра:

Как в том, так и в другом случае необходимо знать распределение температуры T = f (x) .

Теплопроводность стержня бесконечной длины:

ϑ = ϑ0e−mx , Q = αu∞∫ ϑ0e−mxdx = αumϑ0 ;

0

Q = −λ ∂∂Tx x=0 f = −λ(−ϑ0me−mx )x=0 f = λfmϑ0 ;

dTdx = ddxϑ = dxd (ϑ0e−mx )= −ϑ0me−mx.

Теплопроводность стержня конечной длины:

Установка ребер на поверхности нагрева производится с целью интенсификации теплопередачи.

3.4. ТЕПЛОФИЗИКА ПРИ ПЕРЕМЕННОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Для большинства веществ зависимость коэффициента теплопроводности от температуры достаточно слабая, что позволяет его усреднять в заданном интервале температур и оперировать им как постоянным значением. Однако для некоторых материалов и веществ наблюдается некоторая зависимость коэффициента теплопроводности от температуры.

Для плоской стенки при стационарном тепловом режиме количество теплоты, проникающее внутрь параллелепипеда (а также выделяемое внутри его объема), всегда равно количеству теплоты, уходящему вовне (рис. 3.4, а, б):

dQА + dQW = dQB или −(dQB − dQА )+ dQW = 0.

Уравнение теплового баланса для плоской стенки можно переписать:

−(qВ − qА)dzdy +W dxdydz =0

или

в итоге получим

Для цилиндрической стенки (рис. 3.4, в, г) при стационарном тепловом режиме количество теплоты, проникающее внутрь элементарного объема через поверхность dSА dz (а также выделяемое внутри его),

должно быть равным количеству теплоты, уходящему вовне через поверхность dSB dz :