Икрин [ЮУрГУ] - Сопротивление материалов с элементами курса теории упругости и пластичности

ной нагрузке (qy(z) = const),

−

поперечная сила линейно переменна (dQy(z)/dz =− qy(z) = const,

Qy(z) − линейная функция),

−

изгибающий

момент

описывается квадратной

параболой

(dMx(z)/dz =− Qy(z) −

линейная функция,

Mx(z) − квадратная пара-

бола).

3) На участке балки, подверженном распределенной нагрузке

линейно переменной интенсивности (qy(z) −

линейна),

−

поперечная

сила описывается

квадратной

параболой

(dQy(z)/dz =− qy(z) − линейна,

Qy(z) − квадратная парабола),

−

изгибающий

момент

изменяется

по кубической

параболе

(dMx(z)/dz=− Qy(z) − квадратная парабола,

Mx(z) − кубическая).

b

b

ства (3.2) dQу(z) =− qy(z)dz, что после интегрирования ∫a dQy(z) = = − ∫a

qy(z)dz и учета геометрического смысла определенного интеграла по-

b

b

казывает: Qy(b) − Qy(a) =− Aq a ,

где Aq a − площадь эпюры qy(z) на

венства (3.3) dMx(z)=− Qy(z)dz, что после интегрирования ∫∫a dMx(z) =

b

b

b

Qy, k + F − Qy, k+1 = 0, Qy, k+1 = Qy, k+ F).

F

а)

б) M

8) В месте действия на балку со-

средоточенного внешнего момента из-

Mx, k Μ x, k+1

гибающий момент изменяется скачком;

Qy, k

Qy, k+1

величина скачка равна величине момен-

Рис. 3.26

та (из рис. 3.26б следует:

Mx, k + M − Mx k+1 = 0, Mx, k+1= Mx, k + M).

,,

M

ных сечениях могут быть лишь три внут-

ренних силовых фактора − продольная, по-

перечная силы и изгибающий момент, ле-

q

жащие в плоскости системы.

F

Для построения эпюр в плоских сис-

темах достаточно введенных выше правил.

Однако из-за геометрической специфики

Рис. 3.27

плоских систем к упомянутым правилам

нужны дополнительные рекомендации.

При определении знака поперечной силы в вертикальных и на-

Σ Y = qz + Q1(z) = 0,

Q1(z) =− qz −

поперечная сила линейно

переменна. Q1(0) = 0,

Q1(3l) =− 3ql.

Σ Mc = q z z/2 −

M1(z) = 0,

M1= qz2. Изгибающий момент опи-

сывается квадратной параболой с M1(0) = 0, M1(3l)

= 4,5ql2; экстре-

мум при z = 0 (здесь Q1(z) = 0).

q

4ql

3ql

Вертикальный

участок

(рис. 3.28 в; 0 < y < 2l).

а)

2l

г) N

Рассечем

вертикальный

стержень

поперечной плоско-

3l

4ql

стью и отбросим нижнюю его

q

M1(z)

часть. Действие ее на остав-

c

N1(z)

3ql

ленную часть заменим силами:

положительными N2(y), Q2(y) и

б) z

Q1(z)

д) Q

моментом M2(y),

растягиваю-

q

4ql

щим правые волокна.

4,5ql2

Q2(y)

y

Из

условий

равновесия

c

е) M

находим:

в)

M2(y)

N2(y)

3,5ql2

Σ Y = q3l + N2(y) = 0,

N2(y) =− 3ql − продольная сила

Рис. 3.28

в сечениях вертикального участка постоянна отрицательна, стержень

сжат.

Σ Z = 4ql −

Q2(y) = 0,

Q2(y) = 4ql − поперечная сила также по-

стоянна положителна.

M2(y) = 4,5ql2 − 4qly − ли-

Σ Mc = q3l3l/2 −

4ql y −

M2(y) = 0,

нейно переменный с M2(0) = 4,5ql2 (растянуты правые волокна) и

M2(2l)=− 3,5ql2

(растянуты левые волокна).

Эпюры N, Q и M изображены на рис. 3.28 г, д, е.

а)

2l

д)

F

3F

б)

y

N

2F

x

l

z

3F

F

е)

в)

2F

Q1y(x) M1x(x)

N1(x)

Q1z(x)

Q

4Fl

M1y(x)

2F

2F

M1z(x)

F

x

F

ж)

5Fl

M2x(z)

2Fl

M2z(z)

N2(z)

Mb

г)

M2y(z)

Fl

Q2y(z) Q2x(z)

3F

2Fl

2F

z

и)

l

Mt

F

Рис. 3.29

Ограничимся частным случаем, ко-

F1

dz

а)

гда на двух параллельных гранях напря-

б)

F2

F3

жений нет (на рис. 4.1в эти грани пер-

пендикулярны оси x).

F4

Задачу сформулируем так. Пусть

dy

в) σ y

τ yz

известны нормальные и касательные на-

σ z

пряжения σ y, σ z, τ yz и τ zy. Рассмотрим со-

dx

τ zy

dy

вокупность площадок, проходящих через

τ zy

рассматриваемую точку и параллельных

τ yz

σ z

оси x. В разных площадках напряжения

σ y

будут разными. Установим

Рис. 4.1

dz

dx

4.2. Теорема о парности касательных напряжений

Прежде чем переходить к решению поставленной выше задачи,

докажем теорему.

Рассмотрим элементарный параллелепипед (рис. 4.1 в, 4.2). Он

находится в равновесии. Приравняем нулю сумму моментов сил,

приложенных к нему.

Поскольку напряжения по каждой грани распределены равно-

мерно, равнодействующие нормальных напряжений проходят через

центр элемента. Примем его в качестве моментной точки.

σ y

Правая грань:

τ yz

−

τ zy− напряжение на ней;

−

произведение dxdy − площадь грани;

dy

σ z

σ

z

−

τ zydxdy − равнодействующая касатель-

τ zy

τ zy

ных напряжений;

−

плечо ее относительно центра элемента

τ yz

σ y

равно dz/2;

−

момент − это произведение τ zydxdydz/2.

dz

Равенство нулю суммы моментов:

Рис.4.2

τ zydxdydz/2 − τ yzdzdxdy/2 + τ zydxdydz/2 −

τ yzdzdxdy/2 = 0.

τ zy = τ yz .

(4.1)

Касательные напряжения, возникающие во взаимно перпенди-

кулярных площадках, равны.

Из условия равновесия ясно, что моменты напряжений τ zy и

τ yz должны быть направлены в разные стороны.

Отсюда следует:

Обозначим площадь вертикальной грани dxdy = dA. Тогда пло-

щади горизонтальной площадки dAtgα , наклонной dA/cosα .

σ

Спроектируем приложенные к призме силы на направление σ α .

y

Проекция горизонтальной силы, действующей

dAtgα

τ yz

на вертикальную грань:

τ α

τ zy

− она представлена напряжением σ z, поэтому

равнодействующая равна σ

z dA;

σ α

α

σ z

− сила горизонтальна,

угол между нею и на-

dA/cosα

dA

правлением σ α равен α ; проекция силы −

это про-

Рис. 4.3

изведение σ z dAcosα .

Рассуждая аналогично и учитывая направле-

ния сил и их проекций, получаем уравнение

σ zdAcosα

+τ zydAsinα +τ yzdAtgα cosα +σ ydAtgα sinα − σ α dA/cosα = 0.

Отсюда после несложных преобразований и использования свойства

(4.1) приходим к зависимости

σ α = σ zcos2α + σ ysin2α

+ τ zysin2α .

(4.2)

Спроектировав силы на направление τ α

и выполнив необходимые

преобразования, получаем вторую формулу −

τ α = ((σ y − σ z)sin2α )/2 + τ zycos2α.

(4.3)

Формулы (4.2) и (4.3) показывают, как изменяются напряжения в за-

висимости от ориентации площадки.

Обобщая выполненный анализ, отметим, что при плоском на-

пряженном состоянии шесть напряжений, действующих на гранях

элементарной призмы, связаны тремя условиями равновесия. Следо-

вательно, плоское напряженное состояние определяется тремя на-

пряжениями. При этом положения исходных площадок, в которых

действуют три заданных напряжения, могут быть любыми.

σ α + σ α +90 = σ z + σ y.

(4.4)

Сумма нормальных напряжений, возникающих во взаимно пер-

пендикулярных площадках, есть величина постоянная для данной

точки тела.

σ

α +90

Равенство (4.4) обнаруживает интересное и

α +900

τ α +90

важное свойство нормальных напряжений в точке.

τ zy

Если рассмотреть всю совокупность взаимно пер-

σ α

α

σ z

пендикулярных площадок в точке стержня (как бы

поворачивать площадки, оставляя их перпендику-

τ α

лярными), нормальное напряжение в каждой из

Рис. 4.4

них с поворотом будет изменяться. Однако, если одно из них возрас-

тет, другое на столько же уменьшится. А отсюда следует, что при

достижении одним напряжением максимума, другое становится ми-

нимальным.

4.5. Главные площадки и главные напряжения

Отсюда

tg2α 0 = 2τ zy/(σ z − σ y).

(4.5)

Равенству (4.5)

удовлетворяют два угла α 0,

отличающиеся на

Принимая во внимание

σ min

−

наличие двух главных площадок,

−

их перпендикулярность,

σ max

σ max

−

экстремальность главных напряжений,

α 0

−

постоянство суммы нормальных напряжений в

σ min

перпендикулярных площадок при повороте паралле-

лепипеда,

Рис. 4.5 приходим к выводу, что одно главное напряжение яв-

ляется максимальным, другое минимальным по сравнению с нор-

мальными напряжениями, действующими во всевозможных площад-

ках, проведенных через данную точку.

Величины главных напряжений можно найти по формуле (4.2),

подставив в нее углы α 0, найденные из равенства (4.5). Однако ком-

пактней равенства

σ max/min= (σ y + σ z ±√(σ y − σ z)2 + 4τ zy2 )/2,

(4.6)

получаемые из выражений (4.2), (4.4) и (4.5) подобно тому, как были

выведены формулы (2.29).

Формулы (4.5), (4.2) или (4.6) позволяют найти положения

главных площадок и величины главных напряжений, т.е. дают ответ

на второй вопрос поставленной задачи.

Пример 4.1. В некоторой точке стержня определены напряже-

ния, величины и направления которых показаны на рис. 4.6. Найдем

положения главных площадок и величины главных напряжений.

10 кН/см

2

Принимаем:

σ y =− 10 кН/см2, σ z = 24 кН/см2, τ zy =− 14 кН/см2.

По формуле (4.5) находим:

24 tg2α 0 = 2τ zy /(σ z−σ y) = 2(− 14)/(24− (− 10)) =− 0,824.

14

Ему отвечают α 01=−1 9,70 и α 02= 70,30 (рис. 4.7).

Рис. 4.6

По формуле (4.2):

σ min = 15 кН/см

2

σ α 01 = σ zcos2α 01 + σ ysin2α 01 + τ zysin2α

01 =

= 24cos2(− 19,7 0) + (− 10)sin2(− 19,7 0) +

+ (− 14)sin2(− 19,7 0) = 29 кН/см2.

σ max

19,7

0

σ max = 29

σ α 02 = σ zcos2α 02 + σ ysin2α 02 + τ zysin2α

02 =

= 24cos2(70,3 0) + (− 10)sin2(70,3 0) +

σ

min

Рис. 4.7

+ (− 14)sin2(70,3 0) = –15 кН/см2.

Итак, σ max =

29 кН/см2, σ min =–15 кН/см2.

72

4.6. Наибольшее касательное напряжение

В плане, аналогичном предыдущему, исследуем касательные

напряжения − ответим на третий вопрос.

Найти положения площадок, в которых касательные напряже-

ния принимают наибольшие значения, можно так же,

как в разделе

4.5 − исследовать функцию (4.3) на экстремум. Однако для упроще-

ния выкладок запишем выражение касательного напряжения в про-

извольной площадке, приняв в качестве исходных

главные площад-

ки и главные напряжения (рис. 4.8). Согласно формуле (4.3)

τ β =((σ min− σσ max)sin2β )/2.

Отсюда видно, что наибольшими касательные напряжения стано-

вятся в площадках, наклоненных к

главным площадкам под уг-

лом β = ±450.

σ min

Экстремальные значения касательного напряже-

σ

max

ния τ max/min=±(σ max− σ min)/2. Численно τ max и τ min

рав-

τ β

β

ны, знаки разные. Первое понятно, ибо они действуют

α 0

во взаимно перпендикулярных площадках и связаны

σ β

свойством парности. Различие знаков создает ви-

Рис. 4.8

димость противоречия условию (4.1).

Однако

это

σ min

противоречие кажущееся. Более строгие формулы

σ

max

требуют иной системы отсчета угловых координат,

τ max

45

α

отражающей знак внешней нормали наклонной пло-

0

щадки. Не желая усложнять материал, здесь применен

σ

45

упрощенный вариант.

Рис. 4.9

Знак несет информацию о направлении напряжения. Устано-

вить его не составляет труда. Поскольку σ max ≥ σ min, по закону рав-

новесия напряжение τ max направлено в сторону,

противоположную

максимальному нормальному напряжению (рис. 4.9). Поэтому фор-

мулу максимального касательного напряжения запишем в виде

τ max= (σ max− σ

min)/2,

(4.7)

а направление будем определять по условию равновесия.

Формула (4.7) завершает анализ плоского напряженного со-

стояния в рамках поставленных выше вопросов. Теперь, определив

напряжения в каких-либо двух площадках, можно найти положение

главных площадок и величины σ max и σ min и то же самое τ max.

Эти

сведения необходимы для оценки прочности материала.

4.7. Виды напряженного состояния

В теории напряжений доказано, что в любой точке твердого те-

ла всегда можно найти три взаимно перпендикулярных главных

площадки и, следовательно, три главных напряжения. Их, как прави-

ло, обозначают σ 1, σ 2 и σ

3. Номера присваивают так, чтобы в алгеб-

раическом толковании выполнялось соотношение σ 1≥ σ 2≥ σ 3.

В зависимости от числа ненулевых главных напряжений напря-

женные состояния подразделяют на три вида.

а)

б)σ 2

в)

σ 2

Линейное (его еще назы-

σ 1

σ 1

σ

1

вают одноосным), когда лишь

σ 3

одно главное напряжение от-

σ 1

σ 1

σ 3

σ 1

лично от нуля (рис. 4.10 а).

σ 2

σ 2

Плоское (двухосное) −

два

главных

напряжения

не

Рис. 4.10

равны нулю (рис. 4.10 б).

Объемное (трехосное) −

все главные напряжения ненулевые

(рис. 4.10 в).

Разновидности линейного напряженного состояния:

а)

−

одноосное растяжение (рис. 4.11 а),

σ 1

σ 1

−

одноосное сжатие (рис. 4.11 б).

б)

−

В плоском напряженном состоянии различают

двухосное растяжение (рис. 4.12 а),

σ 3

σ 3

−

двухосное сжатие (рис. 4.12 б),

Рис. 4.11

−

смешанное напряженное состояние (рис. 4.12 в).

Число сочетаний знаков главных напряжений при объемном

а)

б)

в)

напряженном состоянии

зна-

σ

2

σ

2

σ 3

чительно больше чем при ли-

σ 1

σ 1 σ

3

σ 3

σ

1

σ

1 нейном и плоском. Вероятно,

поэтому все возможные раз-

σ

2

σ

2

σ 3

новидности не получили ин-

дивидуальных названий.

Рис. 4.12

Выше изложены основы теории сравнительно простого − плос-

кого напряженного состояния, достаточного для оценки прочности

материалов стержневых элементов конструкций.

чень определяемых характеристик и т.п.

При испытаниях на растяжение применяют

а)

специальные образцы (рис. 5.1). Размеры образ-

d

цов зависят от возможности их изготовления, а

l

также от мощности и конструкции испытатель-

ной машины. На концах образцов имеются го-

б)

b

ловки для крепления в захватах машины. Cред-

h

няя часть, как правило, круглого или прямо-

l

угольного сечения. Диаметр образцов с круглым

сечением (рис. 5.1 а) обычно принимают 5 ... 10

Рис. 5.1

мм. Посередине образца выделяют рабочую

75

часть длиной l = 10d (так называемые десятикратные образцы) или

l = 5d (пятикратные). У образцов прямоугольного сечения (рис. 5.1 б)

длина рабочей части принимается l = 11,3√bh у десятикратных об-

разцов и l = 5,65√bh у пятикратных.

Испытания на растяжение производят на специальных машинах.

По мере роста растягивающей силы длина образца увеличивается,

поперечные размеры уменьшаются. Испытательные машины обычно

снабжены прибором для автоматической записи зависимости удли-

нения ∆ l от усилия F. Познакомимся с диаграммами растяжения не-

которых материалов.

Наиболее характерной и удобной для первого знакомства явля-

F

d

ется диаграмма, получаемая при испы-

тании малоуглеродистой стали (рис.

a b c

e

5.2). На изображенной кривой условно

можно выделить четыре участка.

Участок Oa практически прямой.

O

∆ l

Удлинение образца растет пропорцио-

Рис. 5.2

нально силе.

Второй участок (bс) свидетельствует о том, что образец удлиня-

ется без заметного изменения силы. Горизонтальный отрезок диа-

граммы называется площадкой текучести.

За площадкой текучести следует участок упрочнения (cd). Уд-

линение образца вновь сопровождается ростом нагрузки, но более

медленным, чем в начале нагружения.

В стадии упрочнения постепенно намечается место разрыва −

образуется местное сужение, называемое шейкой (рис.

5.3). По мере образования шейки рост силы замедляется,

а затем удлинение образца происходит при уменьшении

силы (участок de на рис. 5.2).

Диаграмма растяжения, построенная в координатах

F− ∆ l, зависит от размеров образца. Чтобы получить ха-

Рис. 5.3

рактеристики материала, а не образца, диаграмму пере-

страивают в осях σ−ε

, где σ −

напряжения в поперечном сечении; ε −

относительное удлинение (рис. 5.4). При этом предполагают,

что

напряжения по сечению распределены равномерно, т.е. σ = F/A

(A

− первоначальная площадь поперечного сечения); относительное

76

удлинение также равномерно по длине рабочей части: ε = ∆ l/l. По-

строенная в координатах σ−ε

диаграмма

носит название диа-

граммы условных напряжений при растяжении.

Условность напряжений объясня-

σ

e1

ется тем, что силу делят на первона-

σ

d

чальную площадь. Если силу делить на

u

b c

e

действительную площадь, то отноше-

σ

yl

ние даст истинные напряжения.

σ

pr

a

Диаграммы условных и истинных

ε

напряжений на участке Oabcd практи-

O

чески совпадают. Отличие становится

Рис. 5.4

существенным в процессе формирования шейки. Истинные напряже

ния быстро растут (кривая d− e1 на рис. 5.4).

При испытании на растяжение определяют три группы механи-

ческих характеристик материала.

Первая группа. Ординаты точек a, b и d на диаграмме условных

напряжений отражают способность материала сопротивляться на-

грузке и поэтому называются характеристиками прочности. Их

определения:

σ

pr − предел пропорциональности;

до него напряжения и де-

формации пропорциональны1;

σ

yl − предел текучести −

напряжение,

при котором дефор-

мации растут без изменения нагрузки2;

σ

u − предел прочности −

условное напряжение, соответст-

вующее наибольшей растягивающей силе3.

характеристи-

Вторая группа механических характеристик −

ки пластичности4. В нее входят

δ r = ((lt − l)/l)100%

(5.1)

−

относительное остаточное удлинение при разрыве,

ψ r = ((A − At)/A)100%

(5.2)

−

относительное остаточное сужение при разрыве. Здесь

_____________________

1 Индекс от англ. proportional − пропорциональный.

2 Индекс от англ. yeld − текучесть.

3 Индекс от англ. ultimate − предельный.

4 Пластичность − способность деформироваться в процессе нагружения.

ченная на разрушение, измеряемая в Дж/м3:

w = W/V = Ω mn.

(5.3)

В формуле (5.3)

W − работа, затраченная на разрушение образца;

V − объем рабочей части;

Ω

− площадь диаграммы;

m и n −

масштабы по осям абсцисс и ординат.

Эти энергетические характеристики составляет третью группу.

5.2. Сравнение диаграмм растяжения

различных материалов

Диаграммы

растяжения

различных материалов, естественно,

σ

(МПа)

различны. На рис. 5.5. для сравнения показа-

5

ны диаграммы растяжения

1

−

серого чугуна;

4

600

2

−

малоуглеродистой стали;

3

3

−

алюминиевого сплава;

300

2

4 −

легированной стали;

1

5

−

титанового сплава.

ε (%)

Диаграммы растяжения отличаются

10

20

−

размерами по вертикали;

−

Рис. 5.5

−

протяженностью по горизонтали;

наличием (отсутствием) площадки текучести.

______________________

1 Хрупкость −

противоположность пластичности − разрыв при малом удли-

нении.

78