Замкнутость реляционной алгебры и операция переименования

Как мы говорили, каждое отношение характеризуется схемой (или заголовком) и набором кортежей (или телом). Поэтому, если действительно желать иметь алгебру, операции которой замкнуты относительно понятия отношения, то каждая операция должна производить отношение в полном смысле, т.е. оно должно обладать и телом, и заголовком.

Хотя в основе теоретико-множественной части реляционной алгебры лежит классическая теория множеств, соответствующие операции реляционной алгебры обладают некоторыми особенностями.

Два отношения совместимы по объединению в том и только в том случае, когда обладают одинаковыми заголовками. Более точно, это означает, что в заголовках обоих отношений содержится один и тот же набор имен атрибутов, и одноименные атрибуты определены на одном и том же домене.

Другие проблемы связаны с операцией взятия прямого произведения двух отношений. В теории множеств прямое произведение может быть получено для любых двух множеств, и элементами результирующего множества являются пары, составленные из элементов первого и второго множеств. Поскольку отношения являются множествами, то и для любых двух отношений возможно получение прямого произведения. Но результат не будет отношением! Элементами результата будут являться не кортежи, а пары кортежей.

Поэтому в реляционной алгебре используется специализированная форма операции взятия прямого произведения - расширенное прямое произведение отношений. При взятии расширенного прямого произведения двух отношений элементом результирующего отношения является кортеж, являющийся конкатенацией (или слиянием) одного кортежа первого отношения и одного кортежа второго отношения.

По поводу теоретико-множественных операций реляционной алгебры следует еще заметить, что все четыре операции являются ассоциативными. Т. е., если обозначить через OP любую из четырех операций, то (A OP B) OP C = A OP (B OP C), и следовательно, без введения двусмысленности можно писать A OP B OP C (A, B и C - отношения, обладающие свойствами, требуемыми для корректного выполнения соответствующей операции). Все операции, кроме взятия разности, являются коммутативными, т.е. A OP B = B OP A.

Ниже используются обозначения:

• A,B,C... (возможно с индексами) - имена полей (атрибуты), причем считается, что для каждого имени однозначно определен тип данных (домен) и этот тип неструктурный;

• r,s,t... (возможно с индексами) - переменные типа запись (кортеж), причем считается, что порядок полей в записи не существенен, т.е. записи с одинаковым множеством полей (и их значениями) одинаковы;

• R,S,T... (возможно с индексами) - переменные типа файл (таблица, отношение), причем считается, что порядок записей в файле не существенен и одинаковых записей в файле не может быть, т.е. файлы с одинаковым множеством записей одинаковы.

Базовый набор файлов: файлы, содержащие одну запись; базовые файлы определяются с помощью операции - (имя_поля: значение_поля, ...)

Базовый набор операций над файлами.

Теоретико-множественные:   - (объединение, пересечение и разность, соответственно). Операции применимы только к парам файлов(таблиц, отношений), имеющих одинаковую структуру (схему отношения базы данных).

Пусть R, S – отношения с эквивалентной схемой (множества кортежей с одинаковым набором атрибутов), r1...rk - кортежи отношения R и s1...sk - кортежи отношения S

• объединение ( ) - отношение со схемой, эквивалентной R и S, включающее все различные кортежи из R и S.

• разность - ( ) - отношение со схемой, эквивалентной R и S, включающее все кортежи из R, которые отсутствуют в S

• пересечение ( ) - отношение со схемой, эквивалентной R и S, включающее только совпадающие в R и S кортежи

• Декартово произведение ( )- определено для отношений, с различными атрибутами, схема результата представляет собой конкатенацию схем отношений схем аргументов, результатом является множество всех кортежей , где .

• Тета-соединение. (эквивалентно . Определяет отношение, которое содержит кортежи из , удовлетворяющих предикату . Предикат может иметь вид простого сравнения , где . Если , то говорят о соединении по эквивалентности.

• Естественное соединение ( ),( ) Естественным соединением называется соединение по эквивалентности двух отношений и , выполненное по всем общим атрибутам, из результатов которого исключается по одному экземпляру каждого общего атрибута. , где операция соединения записей и применима только к парам записей, у которых одноименные поля имеют одинаковое значение. Соединение таких записей и дает запись, в которую входят все поля (со своими значениями) из и (одноименные поля не дублируются). В случае, когда имена полей записей не пересекаются, имеем декартово произведение отношений, участвующих в операции.

ПРИМЕР.(A:1,B:2)*(B:2,C:3)=(A:1,B:2,C:3);

(A:1,B:2)*(C:3,D:4)=(A:1,B:2,C:3,D:4) - в случае файлов без одноименных полей, операция применима к каждой паре записей;

(A:1,B:2)*(B:3,D:4) - к такой паре записей операция не применима.

• Внешнее соединение. Иногда возникает ситуация, для кортежа одного отношения не находится соответствующий кортеж в другом отношении. Иначе говоря, в столбцах соединения оказываются несовпадающие значения. Если строка одного отношения должна быть представлена в результатах соединения, даже если в другом отношении нет совпадающего значения. Такое соединение называется внешним.

• Левым внешним соединением называется соединение при котором в результирующее отношение включается также кортежи отношения , не имеющие совпадающих значений в общих столбцах отношения . Для обозначения отсутствующих значений во втором отношении используются значение NULL. Аналогично определяется правое внешнее соединение . Покажите, что .

Реляционные:

• Выборка ([P](R)) ( ) – отношение с набором кортежей из R, удовлетворяющих условию . Условие строится как обычное логическое выражение - из имен полей и констант с помощью операций сравнения и логических операций .

1. [P1 & P2](R)=[P1](R) [P2](R)

2. [P1 P2](R)=[P1](R) [P2](R)

3. [ P](R)= R-[P](R)

• Проекция [имя_поля,...](R) ( ) - файл записей из R, в которых удалены все поля, кроме перечисленных в операции. Тем самым, при выполнении операции проекции выделяется "вертикальная" вырезка отношения-операнда с естественным уничтожением потенциально возникающих кортежей-дубликатов.

• Деление RS. Операция применима, если все поля «делителя» S являются полями «делимого» R; пусть A1,A2,... - поля файла S, а A1,A2,...B1,B2,... - поля файла R. Результат деления будет файлом с полями B1,B2,... RS={t: такие, что (t*s)R для любой записи s из S}. Отметим, что в этом выражении записи t и s не имеют общих полей, поэтому операция * это просто соединение записей.

ПРИМЕР. Пусть R - файл с полями (A,B), S - файл с полем (A), T=(RS) - будет файлом с полем (B):

B

T

A

S

Дополнительные операции

• Переименование полей [A1B1,A2B2,...](R). A1,A2,... должны быть именами полей файла R, а поля B1,B2,... должны иметь соответствующий тип. Результат операции будет содержать те же записи, что и файл R, но поля A1,A2,... будут соответственно переименованы на B1,B2,... Эта операция не оказывает влияние на содержимое отношения, но изменяет его схему.

• Расширение

Добавление атрибута, вычисляемого с помощью <выражения>, под именем <имя>. Помимо арифметических операций и операций сравнения могут быть использованы также итоговые функции (к списку скалярных значений):

COUNT() – количество

SUM() – сумма

AVG() – среднее

MAX() - максимальное

MIN() – минимальное

в) подведение итогов

SUMMARIZE <отношение> BY <список атрибутов> ADD <выражение1> AS <имя1>, ... , <выражение1> AS <имя1>

Групповые вычисления. Выполняется расчет значения и добавление нового атрибута под именем <имя>, но предварительно выполняется проецирование на атрибуты, указанные в <список атрибутов>. При проецировании множество кортежей исходного отношения разобьется на группы одинаковых строк отношения – проекции. Для каждой такой группы и выполняется расчет <выражение>. Так как <выражение> применяется к группе, оно должно быть обязательно итоговой функцией от атрибута или скалярного выражения, применяемой уже не к списку скалярных значений, а к столбцу значений в одной такой группе

Рассмотрим примеры: В качестве операндов в рассмотренных ниже примерах используются следующие отношения:

P(D1, D2, D3)			Q(D4,D5)		R(M, P, Q, T)				S(A, B)
1	11	x	x	1	x	101	5	a	5	a
2	11	y	x	2	y	105	3	a	10	b
3	11	z	y	1	z	500	9	a	15	c
4	12	x			w	50	1	b	2	d
					w	10	2	b	6	a
					w	300	4	b	1	b

Взятие проекции:

R(M, T)
x	a
y	a
z	a
w	b
w	b
w	b

Объединение отношений:

Пересечение отношений:

Разность отношений:

Декартово произведение:

Деление:

Естественное соединение:

q-соединение:

Эта операция предназначается для тех случаев, когда нам нужно соединить вместе два отношения на основе некоторых условий. Пусть отношения А и В не имеют общих имен атрибутов и q определяется так же, как и в операции выборки. Тогда q-соединением отношения А по атрибуту Х с отношением В по атрибуту Y (A join B on X q Y) называется отношение с тем же заголовком, что и при декартовом произведении отношений А и В, и с телом, содержащим множество кортежей t, таких что t принадлежит этому декартову произведению и вычисление условия "X q Y" дает значение истина для этого кортежа. Атрибуты X и Y должны быть определены на одном и том же домене, а операция должна иметь смысл для этого домена.

Если q обозначает "равно", то q-соединение называется эквисоединением. Из определения следует, что результат эквисоединения должен включать два таких атрибута, значения которых должны быть равны в каждом кортеже отношения. Если один из этих атрибутов исключается (что может быть сделано операцией проекции), результатом будет просто естественное соединение.

Операции изменения тела отношения

а) присвоение

<выражение-цель> := <выражение-источник>

Замена в отношении <выражение-цель> всех кортежей на кортежи отношения <выражение-источник>. При этом их схемы должны быть эквивалентны.

Обычно применяют в качестве <выражение-цель> имя отношения, а в качестве <выражение-источник> - выражение реляционной алгебры.

б) вставка INSERT <выражение-источник> INTO <выражение-цель> Добавление кортежей <выражение-источник> в отношение <выражение-цель>. Схемы отношений также должны быть эквивалентны.

в) обновление

UPDATE <выражение-цель> <список элементов>

Изменение значений атрибутов в отношении <выражение-цель> в соответствии со <список элементов>, который представляет собой последовательность вида <атрибут>:=<скалярное выражение>,…, <атрибут>:=<скалярное выражение>

г) удаление

DELETE <выражение-ограничение> FROM <выражение-цель>

Удаление в отношении <выражение-цель> кортежей, перечисленных в <выражение-ограничение>.