Свойства операций над событиями

1. ,

2. - коммутативность,

3. - ассоциативность

4. - дистрибутивность

5. и,

6. ,

7. 

8. где- достоверное событие,- невозможное событие.

Теорема 1: Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей

.

Доказательство:

Пусть n – общее число возможных элементарных исходов,

m₁ – число исходов, благоприятствующих A,

m₂ – число исходов, благоприятствующих B.

Число исходов благоприятствующих наступлению либо события А, события В равно m₁+ m₂ ,

значит .

Ч.т.д.

Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Пример: В урне 8 белых, 5 синих и 2 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет синего или красного цвета?

Решение: А – вынут синий шар,

В – вынут красный шар.

.

Полная группа событий

Полной группой называется совокупность единственно возможных событий испытания.

Пример: Стрелок проводит по мишени 2 выстрела.

Полная группа событий: - одно попадание,

- два попадания,

-промах.

Теорема 2: Сумма вероятностей , образующих полную группу, равна единице:.

Доказательство:

Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна 1, то

или

Т.к. любые два события полной группы несовместны, то

.

Теорема 3:

Доказательство: Т.к. не совместные события, то

,

Но - это достоверное событие, т.е., значит,

ЧТД.

Пример: Один лотерейный билет выигрывает с вероятностью 0,0001. Какова вероятность того, что владелец одного билета ничего не выиграет?

.

Теорема 4: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: . (без доказательства).

Пример: Найти вероятность появления герба при одном бросании двух монет.

.

Определение: Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.

Пример: Пусть в урне 5 шаров: 2 белых и 3 черных. Два человека извлекают из урны по одному шару. A – появление белого шара у первого человека, B – появление белого шара у второго человека.

, но , в зависимости, что вытащил первый человек – белый или черный шар.

Определение: Условной вероятностью называется вероятность событияA , вычисленную при условии, что событие B произошло.

Теорема 5: .

Доказательство:

Пусть испытание, в котором могут появиться события A и B имеется n.

m(B) – число исходов, благоприятных B,

m(AB) – число исходов, благоприятных AB.

,

В знаменателе стоит m(B), т.к. из определения условной вероятности, мы должны учитывать только те исходы, в которых произошло событие B.

. ЧТД

Следствие: ,.

Эти формулы можно распространить на любое число событий:

Пример: Из колоды карт выбирают две карты. Какова вероятность, что будут вынуты 2 туза?

Решение: I способ. .

II способ. .

Определение: События A и B называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет, т.е.

, т.е. (теорема 4).

Теорема 6: Вероятность двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Доказательство:

n – общее число исходов,

m – число исходов, благоприятных A,

k – число исходов, благоприятных B,

l – число исходов благоприятных и A и B.

.

В сумме m+k дважды учтены исходы, благоприятные AB, поэтому число случаев, благоприятных событию A+B будет m + k – l, значит,

.

Пример: Два стрелка независимо один от другого делают по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком – 0,5, вторым - 0,6. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Решение:

I способ. С – мишень поражена,

А – мишень поразил первый стрелок,

B- мишень поразил второй стрелок.

II способ.

.

III способ.

.