Формула полной вероятности.

Теорема: Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу.

Пусть известны вероятности , тогда

-

формула полной вероятности.

Доказательство:

Т.к. по условию событие A может наступить, если наступит одно из несовместных событий , то появление событияA означает осуществление одного, безразлично какого из несовместных событий

, т.е.

Пример: Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная равна 0,8, а второго - 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора стандартная.

Решение:

A – извлеченная деталь стандартная,

- вероятность того, что деталь будет извлечена из 1-го набора,

- вероятность того, что деталь будет извлечена из 2-го набора,

, , значит

Формулы Бейеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Так как неизвестно, какое из этих событий произойдет, их называютгипотезами.

Допустим, что произошло испытание, в результате которого появилось событие A. Поставим своей задачей определить как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез, т.е. будем искать

Ясно, что . Значит,

, но

, т.е.

.

Аналогично, для

Или в общем виде можно записать

-

формулы Бейеса.

Пример: Детали, изготавливаемые цехом, попадают для проверки их на стандартности к одному из двух контролеров. Вероятность, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность, что годная деталь буде признана стандартной первым контролером 0,94, вторым – 0,98. Годная деталь была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

,

Как видно, до испытания вероятность гипотезы равнялась 0,6, а после появления событияA вероятность этой гипотезы изменилась и стала равной 0,59.

Вероятность появления хотя одного события

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного события из событий независимых в совокупности равна

или

.

Доказательство: .

Схема испытаний Бернулли

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может произойти событие А или произойти событие с вероятностью. Такого рода схема называется схемой Бернулли.

Тогда вероятность того, что событие A наступит ровно k – раз вычисляется по формуле Бернулли:

.

Доказательство:

Заметим, что не требуется, чтобы событие A повторялось ровно k раз в определенной последовательности. Например, если мы хотим, чтобы событие A появилось 3 раза в четырех испытаниях, то это может быть

.

По аналогии, если в одном испытании событие A появилось k раз, то вероятность: .

Таких событий может быть: .

Пример: Игральная кость бросается 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет

А) 2 раза, Б) не более 8 раз, В) хотя бы один раз.

А)

Б)

В)