Случайные события. Вероятность.

Теория вероятностей изучает закономерности в случайных событиях.

Замечание: Методы теории вероятностей не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

Само понятие события принято считать не требующим определения. Но события можно разделить на:

1. Достоверные события - это события, которые обязательно наступят в результате данного испытания (например: из коробки с белыми шарами мы всегда вытащим белый шар).

2. Невозможные события - это событие, которое заведомо не произойдет.

3. Случайные события – это события, исход которых заранее предсказать нельзя (например, попадание в цель при выстреле).

Определение: Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте (пример, попадание и промах в одном выстреле).

Определение: События A₁, A₂,…, A_n называются попарно-несовместные, если любые два из них несовместны.

Определение: События A₁, A₂,…, A_n образуют полную группу, если они попарно-несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них (пример: 2 монеты. Полная группа РР,ГГ, РГ, ГР.)

Определение: Несколько событий называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие (т.е. все события имеют равные шансы).

Определение: Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом. Элементарные исходы обозначим ___n.

Определение: Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие А наступает, называются благоприятствующими этому событию. Таким образом, событие А наступает, если результатом испытания является один безразлично какой из элементарных исходов, благоприятствующих событию А.

Существует три способа определения вероятности: аксиоматический, статический, классический.

Сейчас поговорим о классическом определении.

Определение: Вероятность события A – это

_{где m – число элементарных событий благоприятствующих А,}

n – общее число равновозможных событий.

Здесь предполагается, что элементарные исходы:

1. несовместны;

2. равновозможны;

3. образуют полную группу.

Пример: При однократном бросании правильной и однородной игральной кости вероятность выпадения шестерки

Свойства вероятности

1. 

2. если А - невозможное событие,

3. если А - достоверное событие.

Примеры:

1. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Из них 15 выигрывают по 50 000 руб, 25 – по 10 000руб, 60 – по 5 000руб. Играющий приобрел 1 билет. Какова вероятность выиграть не менее 10 000руб.

Решение: Число равновозможных исходов n=1000.

Нас интересуют только 15 билетов по 50 000 руб и 25 билетов по 10 000 рублей, значит, m=15+25=40.

2. _{Студенты подготовили к экзамену 20 вопросов из 25. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса, какова вероятность того, что студент знает 2 из них, а один не знает.}

3. Решение:

.

А вероятность того, что он знает все вопросы:

.

Вероятность, что он знает один вопрос:

.

Вероятность, что он не знает ни одного вопроса:

.

Или

Т.е. вероятность сдать экзамен

4. В тяжелой фракции породы среди 50 зерен наблюдалось 30 зерен кварца. Наудачу из этих 50 зерен отобраны 10 зерен. Найти вероятность того, что среди отобранных зерен ровно 4 кварцевых.

Обозначим число всех зерен через N, из них число кварцевых зерен S, число отобранных зерен q, число зерен кварца среди отобранных – r. Число возможных исходов равно числу сочетаний из N элементов по q: .

Через А обозначим событие, заключающееся в появлении r кварцевых зерен среди q отобранных. Тогда число элементарных исходов опыта, благоприятствующих событию А равно: , где-число способов выбора кварцевых зерен, а- число способов выбора некварцевых зерен. Таким образом:

= .