Батыгин&co

530 Глава XI

Из второго уравнения следует, что момент импульса является интегралом движения:

Из выражения (3) видно, что возможны траектории двух основных типов. При больших значениях г полная энергия 8 = тс2 + Т (Т — кинетическая энергия), поскольку при г —>оо потенциальная энергия Щ > 0.

Так как Г > 0, то при Е < тс2 частица не может далеко отойти от притягивающего центра и ее траектория заключена в ограниченной области (финитное движение). При Е > тс2 существуют ветви траектории, уходящие на бесконечность (инфинитное движение).

Найдем дифференциальное уравнение, которым определяются траектории частицы. Из (2) следует

Подставляя (3) и (4) в первое из уравнений (1), получим дифференциальное уравнение траектории частицы:

где

Интегрирование этого уравнения дает при

где £ — постоянная интегрирования. Вторую постоянную интегрирования можно исключить соответствующим выбором начала отсчета угла а, а величину £ выразить через § и К. Траектории симметричны относительно оси х (а = 0).

532 Глава XI

ет вид незамкнутой, вообще говоря, розетки, заключенной между окруж-

(прецессии) нерелятивистской эллиптической траектории в своей плоскости. Полное колебание величины г от минимального значения гтт = 1 + е

Р

(перигелий) до максимального значения Гщах = _ (апогей) и обратно до нового минимума происходит при возрастании а

ставляет собой рациональное число, то после некоторого числа оборотов траектория замыкается на себя.

arccosI(--1)

. Частица, приближающаяся к за-

ряду Ze по одной из этих ветвей, может совершить вокруг заряда несколько оборотов, раньше чем уйти от него на бесконечность по другой ветви.

Случаю 8 = тс2 отвечает е = 1. Движение Рис. 116 в этом случае также инфинитно, а траектория

«параболовидна».

При р < 1 рассмотренные траектории переходят в обычные эллипс (е < 1), гиперболу (е > 1) и параболу (е = 1) нерелятивистской кеплеровой задачи. Это естествеино, так как при ^ <С 1 выполняется условие р <£. I.1

1 Можно произвести такую оценку величины р в нерелятивистском случае:

раметр £i < 1 и траектория имеет две ветви, уходящие на бесконечность

Рис. 118 Траектория также представляет собой спираль, закручивающуюся вокруг

центра при а —> ±оо, но медленнее, чем в случае р > 1. Общий характер траектории такой же, как в случаях, изображенных на рис. 117, 118.

710. В случае ^ < 1

г =

— 1 + £ cos aV ^v

712.В случае ее' < 0 (притяжение):

а| е 2 - 1 |

г= 1 + е cos а '

где

цы, г, а — полярные координаты. Траектория частицы представляет собой

28К2 . Момент импульса выражается через прицельное расстояние s те2е12

7,«. I = rt = n /|±j.«!.

717. Ускоряющее электрическое поле:

где г — радиус орбиты электрона, Ф — магнитный поток, пронизывающий орбиту, а — азимут электрона.

Ускорение электрона происходит на орбите постоянного радиуса г = -Щ-

(см. задачу 695), где Щ — магнитное поле на орбите, перпендикулярное ее плоскости и нарастающее со временем. Из условия dr = 0, находим

Ф = 2Ф0,

где Фо = тгг2Яо.

Последним равенством и выражается искомое правило «2 к 1».

718. Энергия U взаимодействия двух заряженных частиц определяется формулой (XI.23), в которую нужно подставить заряд е\, одной из частиц и запаздывающие потенциалы <рч, А2 поля другой частицы. Воспользовавшись разложениями, приведенными в задаче 757, получим:

где Б — электрическое поле в неподвижной системе, а » « с. Спиновый механический момент в сопутствующей системе изменяется по закону

(f) =mXН'

\Я1 / сопугетв

Спомощью формулы, приведенной в условии задачи, найдем

(f)= т

Чat I сопугетв

Из сравнения этого уравнения с уравнением (VI. 14) получаем, что в рассматриваемом случае имеет вид

где 1 — момент импульса частицы, создаваемый ее движением как целого (орбитальный момент). Энергия взаимодействия магнитного с эффективным полем имеет обычный вид

U = —tn • Нэфф

и, дифференцируя эту величину по углам, определяющим ориентацию т , можно найти обобщенные силы, действующие на магнитный момент. Окончательно получим

2m2 c2 r dr

Это выражение используется в квантовой теории атомов и называется энергией спин-орбитального взаимодействия (Я.И.Френкель, 1926 г.)

722. Энергия взаимодействия возникает только за счет томасовской прецессии и имеет вид

Рассмотренная в этой задаче ситуация приближенно осуществляется в атомных ядрах. На нуклоны в ядре действуют большие неэлектрические (ядерные) силы и сравнительно слабые электростатические силы, которыми можно пренебречь. Поэтому энергия спин-орбитального взаимодействия определяется формулой (1), где V — потенциал ядерных сил. Учет спинорбитального взаимодействия нуклонов играет важную роль при расчете ядерных уровней.