Батыгин&co
.pdfИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящий сборник задач рассчитан в основном на студентов-физиков
исоставлен с учетом существующих программ по электродинамике. Он может быть использован в качестве учебного пособия на инженернофизических факультетах втузов, на физических факультетах университетов
ипедвузов, а также на радиотехнических и других факультетах, на кото-
рых изучается теория электромагнитного поля. Часть задач, включенных в сборник, может быть полезной и для лиц, занимающихся более углубленным изучением вопросов электродинамики.
Кроме задач, иллюстрирующих основные понятия и законы электродинамики, которые решаются простыми математическими методами, в сборник включено значительное количество более сложных задач (эти задачи отмечены звездочкой). Некоторые из них требуют трудоемких вычислений, в других рассматриваются вопросы теоретического характера, обычно выпадающие из лекционного курса (распространение волн в анизотропных
игиротропных средах, движение заряженных частиц в электромагнитном поле, представление электромагнитного поля в виде набора осцилляторов
идр.). Наконец, имеются задачи, в которых разбирается материал, мало отраженный в существующей учебной литературе: взаимодействие заряженных частиц с веществом (гл. XIII),применение законов сохранения к анализу процессов столкновений и распада частиц (§ 1 гл. XI), ферромагнитный резонанс (§ 3 гл. VI) и др. В разделе «Ответы и решения» приведены ответы на большинство задач; многие задачи снабжены решениями.
Вначале каждого параграфа дается краткое теоретическое введение
иприводятся необходимые формулы. Излагаемые сведения не претендуют на полноту; более полное освещение соответствующих вопросов читатель найдет в литературе, указанной в конце каждой главы.
Вкниге всюду используется гауссова абсолютная система единиц, так как она наиболее часто употребляется в физической литературе. Обозначения применяются общепринятые. К сожалению, не всегда удавалось избежать применения для разных величин одинаковых символов, и наоборот. Однако это не может привести к недоразумениям, так как в теоретических введениях указываются обозначения,используемые в соответствующих главах или параграфах.
Из предисловия к первому изданию |
11 |
В математических приложениях к сборнику приведены основные данные о дельта-функции, цилиндрических и сферических функциях, необходимые для решения задач.
При подготовке книги использовался опыт преподавания электродинамики на физико-механическом и радиотехническом факультетах Ленинградского Политехнического института. Значительная часть приведенных задач решалась студентами третьего и четвертого курсов на практических занятиях, при выполнении контрольных работ, в качестве заданий повышенной трудности, на зачетах и экзаменах.
При составлении сборника были использованы курсы Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, И.Е. Тамма, Я. И.Френкеля, Абрагама и Беккера, В. Смайта, Дж. А. Стрэттона и др., а также многие монографии, обзорные и оригинальные статьи. Ряд полезных задач, содержащихся в этих руководствах, включен в сборник.
1961 г. В. Батыгин, И. Топтыгин
ЗАДАЧИ
ГЛАВА I
ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Векторная и тензорная алгебра. Преобразования векторов и тензоров
Скаляром (инвариантом) в трехмерном пространстве называется величина, которая не изменяет своего значения при поворотах координатной системы.
Вектором в трехмерном пространстве называется совокупность трех величин, преобразующихся при поворотах системы координат по формулам
з
(i.i)
Здесь Ак — проекции вектора на оси исходной, а А[ — на оси повернутой системы координат; аце — коэффициенты преобразования, представляющие собою косинусы углов между к-й осью исходной и г-й осью повернутой системы координат.
В дальнейшем мы воспользуемся следующим правилом суммирования, принятым в тензорном анализе: будем опускать знак суммы, подразумевая суммирование во всех тех случаях, когда в данном выражении встречаются два одинаковых индекса. В соответствии с этим правилом, равенства (1.1) запишутся так: А[ = aikAk.
Тензором II ранга в трехмерном пространстве называется девятикомпонентная величина Тцс (г, к = 1,2,3), преобразующаяся при поворотах координатной системы следующим образом:
Tik = OcuakmTlm |
(1.2) |
(сумма по I, т). Аналогично тензор s-ro ранга в пространстве трех измерений определяется законом преобразования:
Тш. . .г = аИ'акк' • • -CHrr'Ti'k'l'. . .г'- (1-3)
В этом равенстве величины Т имеют по s индексов.
14 |
Глава I |
Величины, преобразующиеся как вектор при поворотах координатной системы, могут двояко вести себя при инверсии системы координат (преобразование х' = —х, у1 = —у, z' = —z). Тевекторы, компоненты1 которых при инверсии координат меняют знак, называются полярными векторами, или просто векторами. Векторы, компоненты которых не меняют знака при инверсии системы координат, называются псевдовекторами, или аксиальными векторами. Примером аксиального вектора может служить векторное произведение двух полярных векторов. Аналогично тензор s-ro ранга называется просто тензором, если его компоненты преобразуются при инверсии как произведения s координат, т. е. умножаются на (—I)8 , и псевдотензором, если его компоненты умножаются на (—l)s + 1 .
Таблица коэффициентов преобразования
an |
ai2 |
ai3\ |
|
(«21 |
«22 |
СК23 I |
(1.4) |
«3i |
аз2азз/ |
|
|
называется матрицей преобразования. Определитель, элементы которого
совпадают с элементами некоторой матрицы, называется |
определителем |
||
этой матрицы: |
|
|
|
^ |
an |
ai2 ai3 |
|
| S| = |
O!21 0122 <*23 • |
(1.5) |
|
|
«31 |
«32 «33 |
|
Суммой двух матриц a + /3 называется такая матрица % элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц-слагаемых:
lik=O4k+0ik. (1.6)
Произведением двух матриц а/3 называется такая матрица % элементы которой получаются из элементов перемножаемых матриц од и/?^ по правилу:
Ък = аийк |
(1.7) |
(суммирование по /). Матрица 7 описывает такое преобразование, которое получается при последовательном выполнении преобразования сначала с матрицей 0, а затем с матрицей а.
Единичной матрицей называется матрица вида
(1.8)
1 Мы не делаем различия между ковариантными и контравариантными компонентами векторов итензоров (см., например, [107]), так как оно несущественно для вопросов, рассматриваемых в этой книге.
§1. Векторная и тензорная алгебра |
15 |
Она описывает тождественное преобразование {А[ = Ai). Элементы единичной матрицы обозначаются символом Sik:
|
|
при |
i = k, |
|
|
|
при |
гфк. |
( L 9 ) |
Матрица вида |
|
|
|
|
а= |
0 |
а 2 |
0 |
(1.10) |
называется диагональной матрицей. |
|
|
|
|
Если элементы матрицы удовлетворяют условиям |
|
|||
|
|
= бы, |
(1.11) |
|
то онаназывается ортогональной. |
|
|
|
|
Матрица а" 1 , удовлетворяющая |
условиям |
|
||
аа'1 |
=а~1а=1, |
(1.12) |
||
называется обратной матрице а. Она описывает обратное преобразование,
т. е. если А\ = aikAk, |
то Ак = |
а^А[. |
|
|
Матрица а, которая получается из а заменой строк на столбцы, назы- |
||||
вается транспонированной: |
|
|
|
|
а |
= I ai2 |
а2 2 |
а3 2 I , aik = aki. |
(I.13) |
|
\ai3 |
"23 |
"зз/ |
|
1.Два направления п и п' определяются в сферической системе координат углами Ь,аи $', а'. Найти косинус угла в между ними.
2.Доказать тождества:
а) (А х В) • (С х D) = (А • С)(В• D) - (А • D)(B • С); б) (А х В) х (С х D) = [А • (В х D)]C - [А • (В х C)]D =
= [А • (С х D)]B- [В • (С х D)]A.
3. Во всех декартовых системах координат задана совокупность трех величин ai (i = 1,2,3) и известно, что а*6» = inv относительно поворотов и отражений. Доказать, что если 6* —произвольный вектор (псевдовектор), то ai —также вектор (псевдовектор).
16 |
Глава I |
4.Доказать, что если а» = Tikbk в каждой системе координат и Т^— тензор IIранга, а Ьк—вектор, то а* —тоже вектор.
5.Доказать, что -^- есть тензор II ранга.
ОХк
6.Доказать, что если Т»^ — тензор II ранга и Р ^ — псевдотензор
IIранга, то TikPik —псевдоскаляр.
7.Показать, чтосимметрия тензора есть свойство, инвариантное относительно вращении, т.е.тензор, симметричный (антисимметричный) в некоторой системе отсчета, остается симметричным (антисимметричным) иво всех системах, повернутых относительно исходной.
8.Показать, что если тензор Sik — симметричный, а тензор Aik — антисимметричный, то AikSik = 0.
9.Доказать, что сумма диагональных компонент тензора II ранга является инвариантом.
10*. В некоторых случаях бывает удобно вместо декартовых компонент вектора ах, ау, az рассматривать его циклические компоненты, определяемые формулами a±i = T~h=(o-x ± i>ay)> ao = а-z- Выразить скалярное
и векторное произведения двух векторов через их циклические компоненты. Выразить также циклические компоненты радиуса-вектора через шаровые функции1 Лежандра.
11*. Найти компоненты тензора е~кх,обратного тензору £•»*,. Рассмотреть, в частности, случай, когда £•»*, является симметричным тензором, заданным в главных осях.
12.Пусть во всех координатных системах компоненты вектора а линейно выражаются через компоненты вектора Ь: а, = е%кЬк- Доказать, что совокупность величин Sik является тензором IIранга. (Точнее, Sik является тензором, если а и b —оба полярные векторы илипсевдовекторы, и псевдотензором, если один из векторов —полярный, а другой —аксиальный.)
13.Показать, что совокупность величин АцаВус, где Aiki — тензор III ранга, a Bik —тензор IIранга, является вектором.
14.Найти закон преобразования совокупности объемных интегра-
лов Tik = / XiXk dV при пространственных поворотах и отражениях (xi и Хк — декартовы координаты).
'Определение шаровых функции приведено в приложении 2.
§ 1. Векторная и тензорная алгебра |
17 |
15.Составить матрицы преобразования базисных ортов: при переходе от декартовых координат к сферическим и обратно; при переходе от декартовых координат к цилиндрическим и обратно.
16.Записать матрицу преобразования
компонент вектора: приотражении трехкоординатных осей; приповороте декартовой системы координат вокруг оси z на угол а.
17. Найти матрицу преобразования компонент вектора при повороте координатных осей, определяемом углами Эйлера сц, в, аг (рис. 1),путем перемножения матриц, соответствующих поворотам вокруг оси z на угол «1, вокруг линии узлов ON на угол в и вокруг оси z' на угол а^.
18. Найти матрицу D(aida2), с помощью которой преобразуются циклические компоненты вектора (см. задачу 10*) при повороте координатной системы, определяемом углами Эйлера ai, в, аг (рис. 1).
а, Га
Рис. 1
19*. Показать, что матрица бесконечно малого поворота системы координат а может быть записана в виде а = 1+?", где е"— антисимметричная матрица (ецс = —£ki)- Выяснить геометрический смысл Sik-
20.Доказать, чтоесли а — ортогональная матрица преобразования,то при ее транспонировании получается матрица обратного преобразования.
21.Показать, что матрица преобразования базиса координатной системы приотражении или повороте и матрица преобразования компонент вектора совпадают.
22*. Доказать, что при поворотах или отражениях четного числа координатных осей определитель преобразования равен + 1 , а при отражениях нечетного числа координатных осей этот определитель равен —1.
23. Показать, что если в некоторой системе координат соответствующие компоненты двух векторов пропорциональны,то они пропорциональны в любой другой системе координат. (Такие векторы называются параллельными.)
'Преобразования, определитель которых равен +1, называются собственными; преобразования с определителем — 1 —несобственными.
18 |
Глава I |
24*. Во всех декартовых системах координат задана совокупность величин еца, обладающих следующими свойствами: при перестановке любых двух индексов е»*/ меняет знак; ei23 = 1.
Показать, что эта совокупность е»*/ образует псевдотензор III ранга (совершенно антисимметричный единичный псевдотензор III ранга).
25.Доказать, что компоненты антисимметричного тензора II ранга при вращениях преобразуются как компоненты вектора.
26.Записать выражения для компонент векторного произведения двух векторов и вихря вектора с помощью тензора е ^ . Указать, как преобразуются эти величины при вращениях и отражениях.
27.Доказать равенства:
а) eikieimn |
= 6im6kn - SinSkm', |
|
б) ешеыт |
= 2Sim. |
|
28. |
Записать в инвариантной векторной форме: |
|
а) |
einieiraeimpeatpanarbmct; |
|
б)einiekrs^imp^stpara'rfikb' |
||
29. |
Показать, что Tikafik — Tikukh = 2ш • (а х Ь), где Т^ — про- |
|
извольный тензор II ранга, а и b — векторы, ш — вектор, эквивалентный антисимметричной части Т^.
30. Представить произведение [а • (b x с)] [а' • (b' x с')] в виде суммы членов, содержащих только скалярные произведения векторов.
УКАЗАНИЕ. Применить теорему об умножении определителей или воспользоваться псевдотензором IIIранга еш (см. задачу 24*).
31*. Показать, что единственным вектором, компоненты которого одинаковы во всех системах координат, является нулевой вектор; что всякий тензор II ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах координат, пропорционален Sik; тензор III ранга — еш; тензор IV ранга — (бцсдш+ + SimSkl + 6ц6кт)-
32*. Пусть п — единичный вектор, все направления которого в пространстве равновероятны. Найти средние значения его компонент и их произведений: щ, щпк, щпкЩ, щпкщпт, пользуясь трансформационным свойством искомых величин, а не прямым вычислением соответствующих интегралов.
33. Найти усредненные по всем направлениям значения следующих выражений: (а • п)2 , (а • n)(b • п), (а • n)n, (a x n)2 , (a x n)-(b x п), (а • n)(b • п)(с • n)(d • п), если п — единичный вектор, все направления которого равновероятны, а, Ь, с и d — постоянные векторы.
§ 2. Векторный анализ |
19 |
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться результатами предыдущей задачи.
34.Составить все возможные независимые инварианты из полярных векторов п, п' и псевдовектора 1.
35.Какие независимые псевдоскаляры можно составить из двух полярных векторов п, п' и одного псевдовектора 1? Из трех полярных векто-
ров п ь п2 , п3 ?
§2. Векторный анализ
Впроизвольной ортогональной системе координат q\, дг> Цз квадрат элемента длины выражается формулой
(1.14)
а элемент объема — формулой
dV = |
(1.15) |
где
(1.16)
— функции координат (коэффициенты Ламэ). Различные дифференциальные операции записываются так:
|
|
e i |
e 2 |
e 3 |
|
|
(1.17) |
|
|
/12/13 |
/11/13 |
/11/12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
rotA = д |
д |
д |
|
|
|
|
|
|
dqi |
dq2 |
dq3 |
|
|
|
|
|
/ll^! |
hi Ai |
h3A3 |
|
|
|
1 |
I д fh2h3 |
dip\ |
д (hih3 |
ду\ |
я |
/hih2 |
dy?\l |
|
dqi V hi |
dqj |
дс^У h2 |
dq2) |
dq3\ |
h3 |
dq3)\'. |
В формуле для rot А дифференциальные операторы -£—,действуют на эле- oq%
менты нижней строки определителя.