даишев лекция по дифурам

то есть, иначе говоря,

111

прямых.

Покажем, что кривые входят в особую точку, касаясь той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению λ. Пусть p2 < q2. Запишем (15.6) в виде

Легко видеть, что поскольку q2 − p2 > 0, то при t → +∞ вторые слагаемые в скобках быстро убывают, поэтому при боль-

кривые асимптотически стремятся к прямой y = α1 x.

Однако же "бесконечно давно", то есть при t → −∞, именно вторые слагаемые в (15.6) превалируют над первыми, и общее направление движения точек определяется, главным образом,

прямой y = β2 x. β1

На рисунке 10 схематично изображено расположение траекторий около точки покоя рассматриваемого типа, называемой устойчивым узлом. Стрелками показано направление движе-

112

замене t → − t, мы имеем ситуацию A1. Траектории имеют тот же вид, только точка по траектории движется от начала координат и при больших значениях t точки, которые в момент времени t0 находились вблизи начала координат, удаляются из ε-окрестности начала координат. Это — неустойчивый узел.

нат. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом, а

ет от начала координат, или приближается к нему, называются

сепаратриссами седла. Качественное поведение интегральных кривых в окрестности точки покоя изображено на рисунке 11.

случае может быть записано в виде

113

y(t) = C cos βt + C sin βt .

3 4

Поскольку и sin βt и cos βt — периодические функции с одним и тем же периодом 2π/β, зна-

чения x(t) и y(t) через период повторятся, а

x

это означает, что через этот промежуток времени точка вернётся в исходное положение, т. е. траектория замкнётся. Следовательно, в этом случае

мы имеем замкнутые циклы, окружающие точку (x, y) = (0, 0). Решение устойчиво. Такая точка покоя называется центром. Качественное поведение интегральных кривых в окрестности этой точки покоя изображено на рисунке 12.

B2. α < 0, пусть α = −p 2, β = 0.

Наличие множителя e−p 2t в решении означает, что точка по спирали стремится к началу координат при t → ∞. Решение устойчиво, более того, решение асимптотически устойчиво. Такая точка покоя называется устойчивым фокусом. Качественное поведение интегральных кривых в окрестности фокуса показано на рисунке 13.

B3. α > 0. Пусть α = p 2, β = 0. Этот случай при

114

замене t → − t переходит в случай B2. Точки по спирали бегут от начала координат. Точка покоя называется неустойчивым фокусом.

0. Точка покоя не только устойчива, но и асимптотически устойчива. Такая точка покоя называется вырожденным устойчивым

y y

узлом. Геометрически, вырожденный устойчивый узел занимает промежуточное положение между ситуациями A1 и B2, так как при сколь угодно малом изменении действительных коэффициентов a11, a12, a21, a22 она может превратиться как в устойчивый узел типа A1, так и в устойчивый фокус. Качественное поведение интегральных кривых в окрестности вырожденного узла показано на рисунке 14.

115

C2. При β1 = β2 = 0 получаем еще один тип устойчивого узла, так называемый дикритический узел (см. рисунок 15).

C3. λ > 0, пусть λ = p 2. При замене t → − t получим ситуацию C1 или C2. В данном случае, хотя интегральные кривые и сохраняют ту же форму, но точки вдоль них бегут в противоположном направлении. Имеем или вырожденный или

дикритический неустойчивый узел.

II. = 0. Случаи A, B, C исключают ситуацию, когда один из корней характеристического полинома является нулевым, ибо при рассмотрении этих случаев определитель ≡ (a11a22 − a12a21) = 0, а характеристическое уравнение имеет

тельно, возможны два решения: λ1 = 0 и λ2 = a11 + a22 = 0. Общее решение системы уравнений в рассматриваемой ситуации имеет вид

Исключим из этих двух уравнений переменную t, получим

то есть имеем семейство прямых

β2(x − C1α1) − β1(y − C1α2) = 0,

которое при любых значениях C1 является семейством прямых,

116

D1. λ2 < 0. Пусть λ = −q 2.

При t → ∞ точки на каждой траектории приближаются к точке покоя x = c1α1, y = c1α2. Точка покоя x = 0, y = 0 является точкой устойчивости, но асимптотической устойчивости нет.

положение траекторий около прямой точек покоя. Стрелками показано направление движения по траекториям при возрастании t.

E. Осталось рассмотреть последний случай, когда оба корня характеристического уравнения равны нулю: λ1 = 0, и λ2 = 0.

точка покоя. Все решения устойчивы.

117

E2. x = C1 + C2t, y = C3 + C4t, где C3, C4 – линейные комбинации C1, C2. Точка покоя x = 0, y = 0 не является устойчивой.

"Математика"и приведено на рисунке 17. Две выделенные, хорошо видные на рисунке прямые — это сепаратриссы седла.

Пример 2. Особой точкой (фокусом) систе-

является точка (0, 0). На рисунке 19 показано расположение интегральных кривых, полученных численным интегрированием в пакете "Матема-

Рис. 19. Вырожденный узел тика". На рисунке хорошо видно единственное выделенное направление, отвечающее единственному кратному корню λ характеристического уравнения.

118

Пример 5. Особыми точками системы

получен численным интегрированием в пакете "Математика". Пример 6. Особыми точками систе-

Подводя итоги, заметим, что если оба корня характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то решение x = 0, y = 0 асимптотически устойчиво. Если хотя

119

бы один корень имеет положительную вещественную часть, то точка покоя x = 0, y = 0 неустойчива.

Совершенно аналогично обстоит дело и в случае системы

nлинейных однородных уравнений с постоянными коэффи-

части всех корней характеристического уравнения отрицательны, то точка покоя асимптотически устойчива. Если же вещественная часть хотя бы одного корня положительна, то точка

ЛЕКЦИЯ 16

16.1. Второй метод Ляпунова

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

120