обыкновенные диф ур-я высших порядков

y2(x) = x +

bkxk.

@: *A

k=2

= y1(x) B ! @: ,A & @: ;A !&/

∞

[akk(k − 1)xk−2 − akxk+1] − x = 0.

k=2

B 4 & 4 ak ! 1

x0

a2 = 0,

x

3 · 2 · a3 = 1,

x2

a4 = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

xk

k(k − 1)ak − ak−3 = 0; k = 5, 6, . . .

a3k =

1

, a3k+1

= a3k+2 = 0.

2 · 3 · 5 · 6 . . . (3k − 1)3k

∞

·

·

·

x3k

−

y1(x) =

+ 1.

2

3

5

6 . . . (3k

1)3k

k=1

∞

·

·

·

x3k+1

+ x.

y2(x) =

3

4

6

7 . . . 3k(3k + 1)

k=1

(1 − x2)y − xy − y = 0.

@: 8)A

4 4 &

! 1

x '

0 !

|x| < 1 B 4 & y1 y2 &0 &1 /

! 10 ' ' |x| < 1

B &! @: :A

∞

y1(x) = 1 +

akxk,

@: 88A

k=2

∞

y2(x) = x +

bkxk.

@: 8(A

k=2

= y1(x) B !

@: 88A & @: 8)A !&/

∞

[−ak(k2 + 1)xk + akk(k − 1)xk−2] − 1 = 0.

k=2

B 4 & 4 ak ! 1

x0

− 1 + 2 · 1a2 = 0, a2 =

1

;

2!

x

3 · 2 · a3 = 0, a3 = 0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xk

(k + 2)(k + 1)ak+2 − (k2 + 1)ak = 0, k ≥ 2

a5 = a7 = . . . = a2m+1 = . . . = 0,

a2

=

1 + 22

, a6 =

(1 + 22)(1 + 42)

, . . . ,

4!

6!

a2m

=

(1 + 22)(1 + 42) · · · (1 + (2m − 2)2)

.

(2m)!

y1 = 1 +

1

x2

+

1 + 22

x4 + . . . +

(1 + 22)(1 + 42) · · · (1 + (2m − 2)2)

x2m + . . . ,

2!

4!

(2m)!

|x| < 1

! / ' y2(x)

y2

= x +

2

x3

+

2(1 + 32)

x5 + . . . +

2(1 + 32) . . . (1 + (2m − 1)2)

x2m+1

+ . . . ,

5!

3!

(2m + 1)!

x − x0

(x − x0)2

∞

k

∞

k

p(x) =

k=0 pk(x − x0)

, q(x) =

k=0 qk(x − x0)

,

@: 8:A

x0| < R & @: 8A '

0

∞

ck(x − x0)k (c0 = 0),

y(x) = (x − x0)r

@: 8+A

r(r − 1) + p0r + q0

= 0.

@: 8.A

4 p0 q0 &!

p

0

= lim (x

−

x

)p(x),

q

0

= lim (x

−

x

)2q(x).

@: 8;A

x

→

x0

0

x

→

x0

0

∞

= (x − x0)r1

y1

ck(1)(x − x0)k (c0(1) = 0),

@: 8,A

k=0

∞

= (x − x0)r2

y2

ck(2)(x − x0)k (c0(2) = 0).

@: 8*A

k=0

∞

y2 = (x − x0)r2 ck(2)(x − x0)k + γy1(x) ln(x − x0),

@: ()A

k=0

: =

& 1

/

0

2x2y + (3x − 2x2)y − (x + 1)y = 0.

@: (8A

B & @: (8A ! &10

y +

(3/2 − x)

y +

(−1/2 − x/2)

y = 0.

@: ((A

x

x2

4

p(x) =

(3/2−x)

q(x) =

(−1/2−x/2)

1 " /

x

x2

x0 = 0 ! !" p(x) q(x) ! 1

@: 8:A B @(A

'

0

B &! @: 8;A

p

0

= lim x

(3/2 − x)

= 3/2, q

0

= lim x2

(−1/2 − x/2)

=

−

1/2.

x

→

0

x

x

→

0

x2

& r1 = 1/2 r2 = −1 " r1 r2 3/2,

!

! / ! ! !" &

@8A !&/ / 1

! '

y1 y2

0 ' '

∞

∞

ck(1)xk+1/2,

y1 =

y2 =

ck(2)xk−1.

@: (9A

k=0

k=0

B ! y1

& @: (8A

∞

∞

x2

c(1)

/ xk−3/2

/ xk−1/2

k

/

k

+ 3

x

c(1)

(

k

−

2

k=0

k (

+ 1 2)(

− 1 2)

k=0

k

+ 1 2)

∞

∞

∞

x2

k

/

xk−1/2

c(1)xk+1/2

.

c(1)

(

−

x

−

c(1)xk+1/2

−2

k

+ 1 2)

k

k

= 0

k=0

k=0

k=0

B !&/ & & ck(1)

x1/2

0 ≡ 0, c0(1)

!" K

x3/2

(1) 3

1

(1) 3

(1) 1

(1)

(1)

2c1

·

+ 3c1

−

2c0

− c0

− c1

= 0;

2

2

2

2

x5/2

(1) 5

3

(1) 5

(1) 3

(1)

(1)

2c2

·

+ 3c2

−

2c1

− c1

− c2

= 0;

2

2

2

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xk+1/2

ck(1)(k + 1/2)(k − 1/2) + 3ck(1)(k + 1/2) − 2ck(1)−1(k − 1/2)−

− ck(1)−1 − ck(1) = 0.

2

(1)

k (1)

c1(1) =

2

c0(1),

c2(1) =

2

c1(1)

=

2

c0(1), . . . ,

ck(1) =

2ck−1

=

2 c0

.

· 7

· . . . · (2k + 3)

5

7

5 · 7

2k + 3 5

B ! c0(1) = 1 4 ck(1)

@: (9A

y1 = |x|1/2

1 + 5 +

5 · 7

+ 5 · 7 · 9

+ . . . + 5 · 7 · . . . · (2k + 3) . . . .

2x

(2x)2

(2x)3

(2x)k

1

x

x2

xk−1

ex

y2 =

+ 1 +

+

+ . . . +

+ . . . =

.

x

2!

3!

k!

x