Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

обыкновенные диф ур-я высших порядков

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

410.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

$ y − y − 2y = 0

$5 y + y = 0

$ y − y + y = 0

$0 y + 2y + 2y = 0

$ y

+ π2y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1

+6 y + 4y + 4y = 0

+ yIV + 2y + y = 0

+$ yIV + 8y + 16y = 0

++ y

+ 8y = 0

+, yIV − y = 0

7 '4 $+ y = C1e4x + C2e2x

$, y = C1e√−

x + C2e4x √$

y =

−

( 1 cos

)

−

( 1 +

C1e−x + C2e2x $5 y

= C1

+ C2e−x $ y

= ex/2 C1 cos

23 x + C2 sin

e x

C sin x $ y

−

sin πx +6 y

e 2x

C x) +

y= e−x (C1 + C2x)+C3 +C4x +$ y = (C1 +C2x) cos 2x+(C3 +C4x) sin 2x ++

y= ex C1 cos √3x + C2 sin √3x + C3e−2x +, y = C1ex + C2e−x + C3 cos x +

C4 sin x

	, "
= &
y(n) + a1y(n−1) + a2y(n−2) + . . . + an−1y + any = f (x)		@( +A
4	= 4 ' 0	y0

&10 &

y(n) + a1y(n−1) + a2y(n−2) + . . . + an−1y + any = 0.

= 4 ' / y1 & @( +A &

y = y0 + y1

" 0 & @( +A 3 " &

' / & F

! ' 4 '

' ()) *

!" " ! &10 ' !&/ '

8 f (x) = P (x) P (x) ! x # &

& / ! γ = 0 E ! / ! γ = 0 ! '

/ & / & @( +A

y1 = Q(x) Q(x) ! / P (x) !

4 E ! / ! γ ! ' / & k y1 = xkQ(x) K

( f (x) = P (x)eax >& 4 & / ! γ = a E ! / ! γ = a ! ' / &

y1 = Q(x)eax E ! γ " " ' / &

k y1 = xkQ(x)K

9 f (x) = eax(P1(x) cos bx+P2(x) sin bx) P1(x) P2(x) ! x

&10 / ! N γ = a ± ib B& " m "

! P1(x) P2(x) E ! / ! γ ! ' / &

y1 = eax(Q1(x) cos bx + Q2(x) sin bx),

Q1(x) Q2(x) ! m ! 4

E ! γ " " ' / & k

y1 = xkeax(Q1(x) cos bx + Q2(x) sin bx);

: f (x) = f1(x) + f2(x) + . . . + fm(x) f1(x), f2(x), . . . , fm(x) &

1 − 3 E ! y1(x), y2(x), . . . , ym(x) /

&10 & f1(x), f2(x), . . . , fm(x)

Y1 = y1(x) + y2(x) + . . . + ym(x)

! / & @( +A

x2 + x − 1 → γ = 0; (x3 + x)e2x → γ = 2;

(x + 2) cos 3x → γ = ±3i; 5 cos 3x − 4 sin 3x → γ = ±3i; ex(5 cos 2x − 4 sin 2x) → γ = 1 ± 2i;

ex + x2 − x → γ1 = 1, γ2 = 0; ex + xe−x → γ1 = 1, γ2 = −1;

ex sin x + e−x cos x → γ1 = 1 ± i, γ2 = −1 ± i; sin 2x + cos 3x → γ1 = ±2i, γ2 = ±3i;

; = 0 &
y − y = x2.	@( .A
&10 & &
y − y = 0.	@( ;A
E ' / &
λ2 − 1 = 0	@( ,A
λ1 = 1 λ2 = −1 B 4 &
y0 = C1ex + C2e−x.	@( *A

= / & @( .A B / & @( .A

& / ! γ = 0 ! ' / & @( ,A ! !" 0 /

y1 = Ax2 + Bx + C.

B ! y1 y1 & @( ,A

2A − Ax2 − Bx − C = x2.

B 4 ' ' !&/ &

& A B C

2A − C = 0,

−B = 0,

−A = 1.

$1 A = −1 B = 0 C = −2 L F
y1 = −x2 − 2.	@( 8)A

B ! 4 & / & 1 0 @( *A &	@( ;A
!&/ 0 & @( .A
y = C1ex + C2e−x − x2 − 2.
, = 0 &
y + y = 4xex.	@( 88A
&10 & &
y + y = 0.	@( 8(A
E ' / &
λ2 + 1 = 0	@( 89A
λ1 = i λ2 = −i B 4 &
y0 = C1 cos x + C2 sin x.	@( 8:A

= / & @( 88A >& 4xex &

/ ! γ = 1 ! ' / &

@( 89A / / 0

y1 = ex(Ax + B).	@( 8+A
B ! y1 y1 & @( 88A !&/
ex(2Ax + 2A + 2B) = 4xex.

B 4 ' ' !&/ &

& A B

x0	2A + 2B = 0,
x	2A = 4.

$1 A = 2 B = −2 L F

y1 = (2x − 2)ex.

$0 & @( 88A F

y = C1 cos x + C2 sin x + (2x − 2)ex.

* = 0 &

y − y = ex + e2x + x.	@( 8.A
&10 & &

y − y = 0.

E ' / &

λ2 − λ = 0

λ1 = 0 λ2 = 1 B 4 &

y0 = C1 + C2ex.

= / & @( 8.A #!

! ' &

y − y = ex, y − y = e2x,

y − y = ex

@( 8;A

@( 8,A

@( 8*A 4 0 / ! /

y − y = x.

@( ()A

>& ex & / ! γ = 1 ! '

/ & 1 ! !" / 0


y1 = Axex.	@( (8A

B ! & 1 @( (8A & @( ()A !&/ Aex = ex $1 A = 1 ! !"

y1 = xex.				@( ((A

y − y = e2x				@( (9A
/
y2 = Ae2x,				@( (:A
/ ! γ = 2 ! ' / & B
& 1 @( (:A & @( (9A A = 1/2 /
1		2x
y2 =	e		.	@( (+A

2


y − y = x	@( (.A
/
y3 = x(Ax + B),	@( (;A

/ ! γ = 0 ! ' / &

B ! & 1 @( (;A & @( (.A

−2Ax − B + 2A = x −2A = 1, −B + 2A = 0 A = −

, B

= −1,

! !"

y3 = −x

x + 1 .

@( (,A

C " ! / @( ((A @( (+A @( (,A '

/ Y1 &

@( 8.A

Y1 = xex +

e2x − x

x + 1 .

B ! 4 & / & 1 0 @( 8*A &

@( 8;A

!&/ 0 &

@( 8.A

y = xex +

e2x − x

x + 1 + C1 + C2ex.

8) = 0 &

y + y = sin x + ex cos 2x.

@( (*A

= 0 &10

y + y = 0; λ2 + 1 = 0; λ1 = i, λ2 = −i;

y0 = C1 cos x + C2 sin x.

= / !

y + y = sin x.

@( 9)A

C & sin x & / ! γ = ±i !

' / & / ! & "

y1 = x(A cos x + B sin x). @( 98A

B ! & 1 @( 98A & @( 9)A

−2A sin x + 2B cos x = sin x.

B 4 ' & ' !&/ &

& A B

cos x		2B = 0,
sin x		− 2A = 1.
$1 A = −1/2 B = 0 L
y1 = −	1	x cos x.

	2
#! &
y + y = ex cos 2x			@( 9(A
/
y2 = ex(A cos 2x + B sin 2x),			@( 99A

" / ! γ = 1 ± i · 2 ! ' / &

B & 1 @( 99A & @( 9(A A = −1/10 B =

1/5 /

y2	= ex	−10 cos 2x +		5 sin 2x .
		1		1

C " " 0 & @( (*A

y = −2 x cos x + ex −

10 cos 2x +

5 sin 2x

+ C1 cos x + C2 sin x.

& 2 &4

+ y − 4y + 4y = x2

+5 y + y = 10

−

24x

+ y + 2y + y = e2x

y = (C1 + C2x)e−x +

e2x

+0 y + y − 6y = xe2x

+ y − 7y + 12y = e2x(1 − 2x)

,6 y + 9y = 2 cos 3x

−

3 sin 3x

, y − y = 2x sin x

,$ y + 6y + 13y = e−3x cos 4x

,+ y − 4y = e2x sin 2x

,, y − 4y + 4y = e2x + x/2

, y + y

= x2 + 1 + 3xex

,5 y − 2y − 8y = ex − 8 cos 2x

7 '4 + y = (C1 + C2x)e2x +

(2x2 + 4x + 3) +5 y = C1e−x + C2 +

C3x − 4x3 + 17x2 + y = (C1 + C2x)e−x

e2x +0 y

= C1e2x + C2e−3x +

e2x

y = C1e4x + C1e3x − e2x(x + 1) ,6 y = C1 sin 3x +

−

C2 cos 3x + x

cos 3x +

sin 3x , y

= C1ex + C2e−x − x sin x − cos x

,$ y = e−3x(C1 cos 2x + C2 sin 2x) −

e−3x cos 4x ,+ y

= C1e−2x + C2e2x −

e2x

(sin 2x + 2 cos 2x)

,, y = (C1 + C2x + x2)e2x +

x + 1

, y = C1e−x +

C2 + C3x +

x2 −

x3 +

x4 + ex

x −

,5 y = C1e−2x + C2e4x −

ex +

15 (3 cos 2x + sin 2x)

* '

= & @( +A !1 / "1 f (x) "

' / ! ' 0

y = C1y1 + C2y2 + . . . + Cnyn

&10 & C 0 & @( +A 0

y = C1(x)y1 + C2(x)y2 + . . . + Cn(x)yn.

>& Ci(x) ! 1

		C1y1 + C2y2 + . . . + Cnyn = 0,
		C1y1 + C2y2 + . . . + Cnyn = 0,




	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



		C y(n−2) + C y(n−2) + . . . + C yn(n−2) = 0,
		(n	1)	(n	1)			(n	1)
		−		−		+ . . .	+ Cn	−		= f (x).
		C1y1		+ C2y2		+ . . .	+ Cn	yn		= f (x).
		1 1		2 2			n



88
88

= 0 &

y − y =

@( 9:A

ex + 1

= 0 &10 &

y − y = 0.

E ' / &

λ2 − 1 = 0

λ1 = 1 λ2 = −1 B 4 &

y0 = C1ex + C2e−x.

$0 @( 9:A 0

y = C1(x)ex + C2(x)e−x.

@( 9+A

& & & C1(x) C2(x)

2 e1

e2x

C1(x)ex

+ C2(x)e−x

= 0,

C1(x) =

x+1

C1(x)e

−

(x)e−

= ex+1 .

C2(x) =

−

ex+1

D &

−1

C1(x) = x

21 ln(ex + 1) + C1,

C2(x) = −2 e

+ 2 ln(e

+ 1) + C2.

B ! 4

C1(x) C2(x)

&!& @( 9+A !&/ 0

@( 9:A

y = 12 ((x − ln(ex + 1))ex + (−1 + ln(ex + 1))e−x) + C1ex + C2e−x.

& 2 &4

, y + y = 1/ sin x

,0 y + 2y + y = e−x/x

, y + 6y + 8y = 4e−2x(2 + e2x)−1

7 '4 , y = (C1 + ln | sin x|) sin x + (C2 − x) cos x ,0 y = (C1 + C2x)e−x+xe−x ln |x| , y = C1e−2x+C2e−4x−e−2x ln[(e2x+2)e2x]−e−4x ln(e2x+

" ( (

xny(n) + a1xn−1y(n−1) + a2xn−2y(n−2) + . . . + an−1xy + any = f (x) @( 9.A

& !

! ! & & 1

4 x = et x > 0 @ ! x = −et x < 0A #! !&/ & 4

' / &

λ(λ − 1)(λ − 2) . . . (λ − n + 1) + . . . + an−2λ(λ − 1) + an−1λ + an = 0.

B ! 4 & xky(k) & @( 9.A k & 10 ' 1 / ! λ(λ − 1)(λ −

2) . . . (λ − k + 1)

8( = 0 &

x3y − x2y + 2xy − 2y = x3.	@( 9;A
! ' / &
λ(λ − 1)(λ − 2) − λ(λ − 1) + 2λ − 2 = 0 (λ − 1)2(λ − 2) = 0	@( 9,A
λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2.

$1 0 & 4

y0 = (C1 + C2t)et + C3e2t.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025350.98 Кб3общество часть С (задания и ответы) и словарь.doc
#
05.09.201931.41 Mб17Общие ответы на билеты.doc
#
18.11.20194.46 Mб24Общие сведения о микроконтроллерах.docx
#
16.11.201963.49 Кб22Объект и предмет социологии как науки.doc
#
10.02.2015389.06 Кб25обыкновенные диф ур-я 1-порядка.pdf
#
10.02.2015410.07 Кб21обыкновенные диф ур-я высших порядков.pdf
#
01.05.202578.93 Кб0ОГЛАВЛЕНИЕ.docx
#
10.02.2015347.65 Кб13ОДОЛЖИТЕ ТЕНОРА .doc
#
26.08.2019177.46 Кб7ОДЦБ.docx
#
15.11.2019941.57 Кб10ОЕ_1.doc
#
17.08.2019519.68 Кб11ОЖД-НОВ2курс-сетевой.doc