обыкновенные диф ур-я высших порядков

dz

= tg(C1

− z)

dz

= dt ln | sin(z − C1)| = −t + ln |C2

|.

dt

− tg(z − C1)

6 0

x y

F (x, y, y , . . . , y(n)) = 0

@8 :+A

! / " ! / &

Φ(x, y, y , . . . , y(n−1))

F (x, y, y , . . . , y(n−1)) = d Φ(x, y, y , . . . , y(n−1)),

dx

Φ(x, y, y , . . . , y(n−1)) = C1

@8 :.A

& # &

@8 :+A < !&/ " / &

@8 :.A 1 / " ! & / ' ' C

&

@8 :+A

y

−

2yy

= 0.

@8 :;A

y

1 + y2

y

2yy

−

= (ln |y | − ln(1 + y2)) ,

y

1 + y2

arctg y = Ax + B.

0 ! & @8 :;A

88 = 0 &

yy = y 2.

@8 :,A

6

y = 8 sin3 y cos y, y(1) = π/2, y (1) = 2

y3y = 4(y4 − 1), y(0) = √

, y (0) = √

2

2

yy

=

y2 + y 2

y

y y

5 x2y y

(x2

+ 1)y 2−= 0

−

x2yy

= (y − xy )2

0 yy + xyy − xy 2 = x3

4y

y

=

2xy − x5

y + 4y2 −

x2

$6

y

y

2y

=

$ (1 + y 2)y

− 3y y 2 = 0

$$ y

+ y cos x

−

y sin x = 0

7 '4

y = ex(x − 2) + 2x + e − 1

$ y = 2x(ln x − 1) + C1x3 + C2x2 + C3x + C4

+

x = e−t + t,

y =

2 +

4

e−

+

2

−

1 + C1

e−

+ 6

+ C1t + C2.

x = sin t

2t,

,

3

−

t

2

1

2t3

y =

8 sin 2t −

cos 2t +

C1 − 2 − t

sin t + −2C1 +

2

t +

+ C2.

4

3

y =

−

C

sin 3x +

C1x2

+ C2x + C3

90

2

5 y = x + C0 arctg x + C1

y =

1

+ C0 ln x + C1

4x2

0 ln y−C1 = 2C1x + C2

y+C2

= ±C02x + C1

C02y2 − 1

6 ctg y = 2(1

−

x)

y2 − 1 = e4x

$ y = t−3/3 + C1t−2/2 + C3, x = t−2/2 + C1

2

x = 32 p + C1,

+ y = 3 x

+ C

2p3

4

y =

+

9 p + C0.

27

, y

sin(x + C ) + C

x + C

= C1(1+C2ex) 1

2

3

y =

y = C

1−C2ex

2

5

ln

C x

|

x /2

ln y = x/C1 −

|1+2

1

+ C2

y = C0e

C1

y = C2xe−C1/x

0 2C1C2y = C22|x|2+C1 + |x|2−C1

= x2y − C1

x2y = C1 tg(C1 ln C2x)

C2(x2y + C1)|x|2C1

$6

eax

bx,

ax

xk 1eax

bx,

e

ax cos

xeax

cos bx, . . . , k

−1

e

ax

cos

sin bx, xe

sin bx, . . . , x

−

sin bx.

6 &!

0

4 &

y − 3y + 2y = 0.

@( 9A

y + 3y + 9y − 13y = 0.

@( :A

E ' / & &

λ3 + 3λ2 + 9λ − 13 = 0.

! ! &1 / " !

(λ − 1)(λ2 + 4λ + 13) = 0 λ1 = 1,

λ2 + 4λ + 13 = 0.

= &

λ2 + 4λ + 13 = 0 3 " a = 1 b = 4 c = 13

2

b+√

√

#

D

D = b

− 4ac = −36

λ2

= −

=

2a

−2 + −36/2 =

√

b √

D

√

1 =

2 + 3i

λ

=

2

36/2 =

2

3i

−

2 + 3

−

−

3

= − −

−

− −

−

−

2a

C ' / & 0

" λ1 = 1 ! '

λ2

= −2 + 3i

λ3 = −2 − 3i B 4 & & y1

= ex y2 = e−2x cos 3x y3

= e−2x sin 3x

y1

= e−x cos x, y2

= xe−x

cos x,

x

x

y3

= e−

sin x, y3 = xe−

sin x

(C1 + 2C2)e2 = 1,2

= −2.

(C1 + C2 + 2C2)e

1

= 7 −

2 C

2 = −3

−

2 B ! /

1

2

& C

e

e

C

C

y

y

0;

arctg x ,

x >

π + arctg x ,

x < 0,

y

≥

0;

ϕ =

y

π + arctg

,

x < 0,

y < 0;

x

−

π/2, x = 0, y > 0;

π/2, x = 0, y < 0;

−

&!&

ωn = r1/k

cos

ϕ + 2πn

+ i sin

ϕ + 2πn

,

n = 0, 1, . . . , k − 1.

k

k

λn = {(−16)1/4}n = 2

cos

π + 2πn

+ i sin π +42πn , n = 0, 1, 2, 3.

4

λ0

√

√

n = 0

= 2 + i 2,

λ1

=

√

√

n = 1

− 2 + i 2,

λ2

=

√

√

n = 2

− 2 − i 2,

λ3

√

√

n = 3

= 2 − i 2.

B ! ' / ! λ0 λ3

&1 /

'

√

√

√

√

x sin

x,

x cos

x.

2

2

y1 = e

2

y2 = e

2

#! λ1 λ2

y3 = e−√

√

y4 = e−√

x cos √

2

x sin

x,

2

x.

2

2

$0

√

√

√

x cos √

√

√

√

√

2

x sin

x + C2e

2

x + C3e−

2

x sin

x + C4e−

2

x cos

x.

y = C1e

2

2

2

2