Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

обыкновенные диф ур-я высших порядков

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

410.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

B ! y

= z !&/

z +

2z2

= 0,

2dx

= −

−

+ C0, z = −

2 + C0x

B F z = 0 3 z y

y = −

, dy =

−

xdx

2 + C0x

3 " !&/

8 C0 = 0 ! dy

dy = C0

2 + C0x − dx y =

C02 ln |2 + C0x| − C0 + C1.

2dx

( C0 = 0 $1

dy = −xdx/2 y = −x2/4 + C.

B F

z = 0 y = 0 y = C.

-& " &

F (y, y , . . . , y(n)) = 0. @8 8;A

# ! & y = z y &1 &1 &1 F z =

z(y) B 4 y , y , . . . , y(n) &1

y =

dy dx

y = dx

= dy z = dy2 z +

d2z

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y(n) = ω

z, dy

, . . . , dyn−1 .

dn−1z

B ! ! y , y , y , . . . , y(n) & @8 8;A

!&/ & (n − 1) & z

B y &1 &1 ! "

y = 7GHIJ = & @8 8;A

" !

E ! &

F (y(k), y(k+1), . . . , y(n)) = 0 (1 ≤ k < n),

@8 8,A

! & y(k) = z(x) C & @8 8,A &

@8 8;A

F (z, z , . . . , z(n−k)) = 0 (1 ≤ k < n).

+ = 0 &
2yy = y 2 + y2.	@8 8*A

B ! yx = z(y) y &1 &1 !& / yxx = zy yx = zy z C & @8 8*A "

2yz dydz = z2 + y2.

B ! z2 = u &/ / 2z dydz = dzdy2 , !&/

yuy = u + y2.

B !&/ ! ! &

u = C1y + y2.

! !" z2 = C1y + y2 y 2 = C1y + y2 &

		dy	= ±dx ln \|y + C1/2 +	C1y + y2	\| = ±x + C2.
	C1y + y2		= ±dx ln \|y + C1/2 +	C1y + y2	\| = ±x + C2.


B
			y = 0.
. = 0 &
			yy + 1 = y 2.		@8 ()A

B ! yx = z(y) !&/ yxx = zy yx = zy z C @8 ()A ! &

yzzy = z2 − 1 z2 − 1 = Cy2 y = ± Cy2 − 1.

3 " 1

8 C = 0 6 4 !&/ dy = ±x y = A ± xK

( C < 0 C = −C12 $1

1 − (C1y)2 = ±dx C1y = sin(C0 + C1x);

9 C > 0 C = C12 $1

1 + (C1y)2 = ±dx C1y = ± sh(C0 + C1x).

/ !&/ & @8 8,A

F (y(n−1), y(n)) = 0

2 ' y(n)

& y(n)

	y(n) = f (y(n−1)).				@8 (8A
# ! & y(n−1) = z(x) !&/ &
zx	= f (z) !		dz	= dx.	@8 ((A

			f (z)
			f (z)
D &		f (z) = x + C1.			@8 (9A
		f (z) = x + C1.			@8 (9A
		dz

E ! !&/ @8 (9A !" z z = ω(x, C) # ! &1 & y(n−1) = ω(x, C) &

E ! " & @8 (9A !" z !" &

! &10 B z &1 &1 &1

dy(n−2) = y(n−1)dx = zdz

zdz

f (z)

−

f (z)

= ϕ2(z, C2),

= y

dx =

ϕ2(z,C2)dz

−

f (z)

@8 (:A

ϕ2(z,C2)dz

y − =

= ϕ3(z, C2, C3),

f (z)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = ϕn(z, C2, . . . , Cn).

6 &!" !&/ /

= x + C1,

f (z)

z, C

, . . . , C

; = 0

y (3y 2 + 2y ) = 1.

@8 (+A

& @8 (+A !" y ! &

y = z

y =	1	,	z =	1	.

	3y 2 + 2y			3z2 + 2z

! &

(3z2 + 2z)dz = dx, x = z3 + z2 + C1.

B " / &! @8 (:A

dy = y dx = z(3z2 + 2z)dz,

y = z(3z2

+ 2z)dz =

+ C2,

dy = y dx =

+ 23

+ C2

(3z2 + 2z)dz,

y = 34

+ 23

+ C2 (3z2

+ 2z)dz = 28

+ 12

9z7

7z6

@8 (.A

+4z5 + C2(z3 + z2) + C3. 15

B !&/ /

x = z3 + z2 + C1,

y =

9z7

7z6

4z5

+ C2(z

) + C3.

+ z

2 ' y(n−1)
&
			y(n−1) = f (y(n)).					@8 (;A
# ! & y(n−1) = z(x) !&/ &
				z = f (zx).				@8 (,A
6 z = dz	= p & dz = pdx z = f (p) # &
dx
! p dz = f (p)dp = pdx $1
	f	p	dp	x =	p	dp
dx =		( )			f ( p)		+ C1.	@8 (*A
dx =		p			f ( p)		+ C1.	@8 (*A
@8 (,A "
			y(n−1) = f (p).					@8 9)A

/ & @8 (*A @8 9)A " / &!

@8 (:A @ z & & pA 6 &!" !&/

			p)dp
x =		f (		+ C1,
		p				n)
y =	n(			2	, . . . , C		.
	ϕ		p, C

!" 3

B& " & & / !

	y(n−1) = ϕ(t), y(n) = ψ(t).
B dy(n−1)			= y(n)dx !&/
	y(n−1)		ϕ (t)dt		ϕ (t)dt
dx =		=		, x =		+ C1.
	y(n)		ψ(t)		ψ(t)

B &! @8 (:A ' /

	x = ψ(t) + C1,

	ϕ (t)dt

y = φ(t, C2, . . . , Cn).

F (y(n−2), y(n)) = 0

2 ' y(n)

y(n) = f (y(n−2)).

# ! & y(n−2) = z(x) !&/ &

		zxx = f (z).
z =	dz	& / &
	dx
& / z dx = dz !&/
		2z dz = 2f (z)dz.
D &		z 2 =	2f (z)dz + C1.

@8 98A

@8 98A 2z dx

! &

dx =			, x =	2f (z)dz + C1	+ C2.	@8 9(A
dx =		2f (z)dz + C1	, x =	2f (z)dz + C1	+ C2.	@8 9(A
	dz			dz

# ! !&/ " / ! &
@8 9(A & 1 y(n−2) = ω(x, C1, C2)
	2 ' y(n−2)
&
		y(n−2) = f (y(n)).
# ! & y(n−2) = z(x) !&/ &
			z = f (zxx).			@8 99A

B ! z = u z = f (u) $1

dz = fudu.	@8 9:A
&
dz 2 = 2z dz = 2z z dx = 2z dz = 2udz = 2ufudu.	@8 9+A

D &

z =		dz
	2ufudu + C1, dx =	dz	.
	2ufudu + C1, dx =	2ufudu + C1	.
		2ufudu + C1

B ! &!& @8 9:A &

x =	2ufudu + C1	+ C2.	@8 9.A
	fudu

# ! !&/ " / ! &

@8 9.A & 1 y(n−2) = ω(x, C1, C2)

! "

" 8 8

F (x, y, y , . . . , y(n)) = 0 @8 9;A

!" & '

! y → ky , y → ky , . . . , y(n) → ky(n) ! & !

F (x, ky, ky , . . . , ky(n)) = kmF (x, y, y , . . . , y(n)).

@8 9;A & ! ! "

y = yz,

@8 9,A

z & z = z(x)

# & ! !" &!& @8 9,A

y yz

	y	=		3			),
	y		y	z + yz		= y(z2 + z	),
	y = y(z				+ 3zz + z ),




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

	y(n) = yω(z, z , . . . , z(n−1)).

B ! ! y , y , . . . , y(n) & @8 9;A

F (x, y, yz, y(z2 + z ), . . . , yω(z, z , . . . , z(n−1))) = 0.

& ! ! & F

ymF (x, 1, z, (z2 + z ), . . . , ω(z, z , . . . , z(n−1))) = 0.

# ! ym @ 4 y = 0 ' A !&/

F (x, 1, z, (z2 + z ), . . . , ω(z, z , . . . , z(n−1))) = 0.

& (n − 1) E ! 0

z = ϕ(x, C1, C2, . . . , Cn−1),

z y /y !&/

y /y = ϕ(x, C1, C2, . . . , Cn−1).

D &

y = Cnexp	ϕ(x, C1, C2, . . . , Cn−1)dx .
! &	@8 9;A
, = 0 &
xyy − xy 2 − yy = 0.		@8 9*A

B ! ! 4 & # !

& y → ky , y → ky , y → ky & @8 9*A

k2yy − k2xy 2 − k2yy = 0.

# ! & k2 !&/ ' &

xyy − xy 2 − yy = 0.

B ! y = yz !&/ y = y(z2 + z ) B ! ! y y & @8 9*A 0 y2 !&/

x(z2 + z ) − xz2 − z = 0 ! xz − z = 0.

D & ! & z = C1x 3 z y /y y /y = C1 D & 0 !&/

y = C2e(C1/2)x2 .

$ % ' "

" 8 (

	F (x, y, y . . . , y(n)) = 0	@8 :)A
	0 !
	x → kx , y → kmy , y → km−1y , . . . , y(n) → km−ny(n)	@8 :8A
!	& !

F (kx, kmy, km−1y , . . . , km−ny(n)) = ksF (x, y, y , . . . , y(n)).

L / ! m " & & & !

' / ! k & ' " /! & !

@8 :8A

B ! / ! m ! " &

x = et, y = zemt,

@8 :(A

t F

z F

& C

= e−t

, y

. . . , yx(n)

! &10

d2z

+ (2

m 1) dz

+ m(m 1)z e(m

−

2)t,

−

dz + mz

= dy e−t

dz emt + mzemt

emt,

@8 :9A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= ω z, dt , . . . , dtn

e(m−n)t.

(n)

dnz

6 ! " & @8 :(A & @8 :)A ! &

&! @8 :9A !&/ & ! 0

emt

& 0 t & &

E ! & @8 :)A x < 0 ! & ! " x = −et

* = 0 &

x4y + (xy − y)3 = 0.

@8 ::A

B / 4 & 0

/ ! m B

' /! / / x y y

y &1 1 m (m

−

1) (m

−

2) 4 + m

−

2 =

3(1+m−1) = 3m & m = 1 C " ! & x = et y = zet C

d2z

= dt e−

dt2

+ dt

e−

= dy e−t

dz + z ,

& @8 ::A

e4t dt2

+ dt e−t + et dt + z

− zet

= 0 dt2

+ dt

= 0.

d2z

B ! " dz = u(z) z &1 &1 C

d2z

du dz

= dz

dt2

B 4 & &

+ u + u3 = 0

+ 1 + u2 = 0.

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025350.98 Кб3общество часть С (задания и ответы) и словарь.doc
#
05.09.201931.41 Mб17Общие ответы на билеты.doc
#
18.11.20194.46 Mб24Общие сведения о микроконтроллерах.docx
#
16.11.201963.49 Кб22Объект и предмет социологии как науки.doc
#
10.02.2015389.06 Кб25обыкновенные диф ур-я 1-порядка.pdf
#
10.02.2015410.07 Кб21обыкновенные диф ур-я высших порядков.pdf
#
01.05.202578.93 Кб0ОГЛАВЛЕНИЕ.docx
#
10.02.2015347.65 Кб13ОДОЛЖИТЕ ТЕНОРА .doc
#
26.08.2019177.46 Кб7ОДЦБ.docx
#
15.11.2019941.57 Кб10ОЕ_1.doc
#
17.08.2019519.68 Кб11ОЖД-НОВ2курс-сетевой.doc