Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Integralnye_uravnenia

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

271.71 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

2 y(t) dt + 1: t ln x

Тогда уравнение (33) перепишется в виде

y(x) =	u(x)		+ 1:	(35)

	ch x
Продифференцируем (34) и подставим вместо y(x) выражение (35), получим
u0(x) = ch xy(x) = ch x µ ch x + 1¶				= u(x) + ch x;
		u(x)

или в стандартной форме u0 ¡ u = ch x:

Решением этого уравнения с учетом начального условия u(0) = 0 будет функция

u(x) = 12 (xex + sh x) :

Подставляя ее в (35), получим решение интегрального уравнения:

y(x) = 1 +	1 xex + sh x	:

	2 ch x

Решить уравнения Вольтерра с вырожденным ядром.

70. y(x) =	Z	x2 y(t) dt + x2:	71. y(x) = 2 Z	2t + 1 dt + 4x:
	x	2t	x	y(t)

1x
72. y(x) = Z	sin x
			y(t) dt + 1:
	cos t		y(t) dt + 1:
0x	x2
74. y(x) = Z	x2
		y(t) dt + x3 cos x
	t3	y(t) dt + x3 cos x

73. y(x) =

x cos xy(t) dt + cos xex: t cos t

75. y(x) =

76. y(x)+

78. y(x)=

cos xe

¡ y(t) dt = e

e x

sin xy(t) dt ¡ x2

y(x)=Z¼

sin x

77.

cos t

tg x

cos x sin t

1 ¡ x2

1 ¡ x4

y(t)

1 ¡ t2

earctg x

dt + 1:

79. y(x) =

y(t) dt +

¼=4

ция, которая является сверткой функций

t) dt:

соответствует функ-

80. y(x) = 2 Z0 x

1 ¡ x4 y(t) dt +

¡1 + x2 :

1 + t2

3x)(1 + x)

81. y(x) =

Z r

y(t) dt +

1 ¡ x2:

1 + x

Уравнения Вольтерра с разностным ядром

Если ядро интегрального уравнения (3)или (4) зависит только от разности своих аргументов: K(x; t) = K(x ¡ t), то такое уравнение может быть решено

операторным методом. Согласно этому методу, каждой функции f(x) (которая

называется оригиналом) взаимно однозначно ставится в соответствие функция F(p) (которая называется изображением) по следующему правилу:

F(p) = f(x)e¡px dx:

Это правило называется преобразованием Лапласа. Ключевым свойством преобразования Лапласа, которое используется для решения интегральных уравнений, является теорема о свертке, согласно которой, если F(p) è G(p) изображения

функций f(x) è g(x), то произведению изображений F(p)G(p)

f(x) è g(x):

f(x) ¤ g(x) = f(x ¡ t)g(t) dt = f(t)g(x ¡

Пусть Y(p); F(p) è K(p) изображения функций y(x); f(x) è K(x) соответ-

ственно. Пользуясь линейностью преобразования Лапласа и теоремой о свертке, преобразуем исходное интегральное уравнение

y(x) = K(x ¡ t) y(t) dt + f(x)

(36)

(которое также называют уравнением типа свертки) в алгебраическое уравнение относительно изображений:

Y(p) = K(p)Y(p) + F(p);

F(p)

откуда находим

Y(p) = 1 ¡ K(p):

По полученному изображению Y(p) восстанавливаем искомую функцию y(x).

Для осуществления перехода от функций-оригиналов к их изображениям и обратно удобно использовать таблицу соответствия:

f(x)

eax

xneax

sh ax

F(p)

pn+1

p ¡ a

(p ¡ a)n+1

p2 ¡ a2

f(x)

ch ax

sin ax

cos ax

eax sin bx

eax cos bx

F(p)

p ¡ a

p2 ¡ a2

p2 + a2

(p ¡ a)2 + b2

Более полный набор функций можно найти, например в [2, 5].

Пример 10. Решить интегральное уравнение

ch (x ¡ t)y(t) dt

y(x) = sh x ¡ 2

(37)

Решение. В этом уравнении f(x) = sh x, à K(x) = ¡2 ch x. Изображениями этих функций являются F(p) = 1=(p2 ¡ 1) è K(p) = ¡2p=(p2 ¡ 1) соответствен-

но. Используя теорему о свертке, преобразуем уравнение (37). В пространстве изображений оно примет вид:

	1		2p
Y(p) =		¡		Y(p);
	p2 ¡ 1		p2 ¡ 1

откуда находим			1		1
Y(p) =				=			:	(38)

	p	2	¡ 2p ¡ 1			2
					(p ¡ 1) ¡ 2

По таблице находим, что изображению (38) соответствует функция-оригинал

e¡x y(x) = p2 sh

которая является решением уравнения (37).

2x;

С помощью преобразования Лапласа решить интегральные уравнения типа свертки.

82. y(x)= 16 Zx(x ¡ t)3y(t) dt + x:

84. cos(x ¡ t)y(t)dt = sin x¡2x:

83. y(x)= ex¡ty(t) dt + e2x ¡ 2:

85.ch (x ¡ t)y(t) dt = 3x2:

0	0
Zx	Zx

86.

88.

y(t) dt = x3ex:

y(x)= sin(x ¡ t)y(t) dt + x2:

0 Zx

87. y(t) dt = e2x sin x:

89. y(x)=2 cos(x ¡ t)y(t) dt + ex:

90. y(x) = 3 sin 4(x ¡ t)y(t) dt + sin x:

91. y(x) = 8 sh (x ¡ t)y(t) dt +

Zx0

92. y(x)=5 sin(x ¡ t)y(t) dt + 4:

ch x:

93. y(x) = ex¡ty(t) dt + sh x:

94. y(x) = ch x ¡ 5 sh (x ¡ t)y(t) dt + 4:

95. y(x) = 2 cos 3(x ¡ t)y(t) dt + cos 3x:

Zx Zx

96. y(x) = 2 y(t) dt ¡ ex¡ty(t) dt + x:

0 0

Zx Zx

97. y(x) = sh (x ¡ t)y(t) dt + 2 sin(x ¡ t)y(t) dt + ch x:

0 0

Интегро-дифференциальные уравнения с разностным ядром

Интегро-дифференциальным называется уравнение, которое содержит неизвестную функцию как под знаком интеграла, так и под знаком производной, при этом производные могут входить в подынтегральное выражение. Интегродифференциальные уравнения с разностным ядром Вольтерровского типа могут быть решены операторным методом. Схема применения преобразований Лапласа остается такой же, как и для интегральных уравнений. При этом, если функция y(x) имеет изображение Y(p), то изображения для ее производных вычисляются

по правилу

y0(x) =¢ pY(p) ¡ y(0);

y00(x) =¢ p2Y(p) ¡ py(0) ¡ y0(0);

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢˙¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

y(n)(x) =¢ pnY(p) ¡ pn¡1y(0) ¡ pn¡2y0(0) ¡ : : : ¡ py(n¡2)(0) ¡ y(n¡1)(0):

Таким образом, для получения однозначного решения интегро-дифференциаль- ные уравнения, в отличие от интегральных, должны быть дополнены начальными условиями.

Пример 11. Решить интегро-дифференциальное уравнение

y0(x) =	Z0x(x ¡ t)y(t) dt ¡ 1;					y(0) = 1		(39)
Решение. В пространстве изображений уравнение (39) имеет вид
	1				1
pY(p) ¡ 1 =				Y(p) ¡			:
pY(p) ¡ 1 =			p2	Y(p) ¡		p	:
Найдем отсюда	Y(p) =			p
				p	:

		p2 + p + 1

Преобразуем полученное выражение

Y(p) =	p + 1=2	¡	1=2		;

	(p + 1=2)2 + 3=4			(p + 1=2)2 + 3=4

после чего с помощью таблицы на стр. 23 восстанавливаем решение уравнения:
y(x) = e¡x=2	Ãcos 23x ¡ p3 sin			2 x!
		p	1	p	3

Решить интегро-дифференциальные уравнения с помощью преобразования Лапласа.

98. y0(x) = cos(x ¡ t) y(t) dt + x;		y(0) = 1:
0
99. y0(x) + Z0x e¡2(x¡t)y(t) dt = 0;		y(0) = 1:
100. y00(x) + Z0x e2(x¡t)y0(t) dt = e2x;		y(0) = 0; y0(0) = 1:
101. y0(x) ¡ y(x) +Z0x(x ¡ t)y0(t) dt ¡Z0x y(t) dt = x; y(0) = ¡1:
102. y00(x) + 2y0(x) + y(x) =	Zx
Zx	Zx

=(x ¡ t)y00(t) dt + 2 sin(x ¡ t)y0(t) dt + cos x;

0	0
y(x) = y0(x) = 0:
103. y00(x) + y(x) +Z0x	sh (x ¡ t)y(t) dt +Z0x	ch (x ¡ t)y0(t) dt = ch x;
y(x) = y0(x) = 0:

Ответы

: 4. y(x) =

1. y x) = 2ex: 2. y x) = ex(1 + 2x): 3. y(x) = 1

(¼x

(2e

3=2

px:

sin x +

5. y(x) =

+ ln x:

6. y(x) = x +

7. y(x) = x

x1=2

8. y(x) = cos x ¡

9. y(x) = ¡ex:

10. y(x) = ex(1 ¡ x):

sin x:

ln 2

¼x

11. y x

x2 + 2x:

12. y(x) = sin x

13. y(x) = ln x

( ) = p1 ¡

¼3

¡ x

14. y(x)

= sin ¼x +

15. y(x)

cos x ¡

tg x:

16. Нет решения. 17.

18.

x ¡ 2x:

19.

y(x) = C cos x + 2x ¡ 1 ¡

y(x) = 5x + 4

y(x) = 3

20. y(x) = x ¡ 2 cos x:

21. y(x) = 2 ¡ 3 sin x:

22. y(x) = ¡3x:

23. Íåò

решения. 24. y(x) = 4x(2 ¡ x):

25. y(x) = 3¼ cos 2x ¡ ¼C cos 3x + 4C + 4:

26. y(x) =

(cos 2¼x + sin 2¼x) + 5x ¡ 4:

27. ¸ =

; y(x) = C(1 + 2x):

28.

2¼

; y(x) = C(1 ¡ x2):

¸ =

29. ¸ =

; y(x) = Cx:

30. ¸ =

; y(x) = C cos x:

31. ¸1;2 = §

; y1;2(x) = C(sin x §cos x):

32. ¸ =

; y(x) = C1 cos x + C2 sin x:

33. ¸1 = ¡¼; y1(x) =

¼2C

(cos 2¼x¡sin ¼x)¡2¼Cx; ¸2 = ¼; y2(x) = ¼C(2 cos 2¼x+

sin ¼x):

34. ¸1 = ¡1; y1(x) = C; ¸2;3 = 2; y2(x) = C1 cos 2¼x + C2 sin 2¼x:

35.

36. ¸ 6= 2; y(x) =

¸ 6=

; y(x) = 1 ¡

x; ¸ =

; y(x) = 1 ¡

x + C(1 + 2x):

sin 2¼x;

¸ = 2; y(x) = sin 2¼x + Cx:

37. 8¸ 2 R; y(x) = cos x +

¼¸

sin x:

2¼x

38. ¸ 6= ¡2¼; y(x) =

; ¸ = ¡2¼; нет решений.

39. ¸ 6=

;

; y(x) =

2¼ + ¸

sin ¼x +

2¸x=¼

;

¸ =

; y(x) = sin ¼x +

x + C;

¸ =

; нет решений.

1 ¡ 2¸=3

2¼

4¸

40. ¸ 6= §

; y(x) = 1 ¡

sin x;

¸ =

; y(x) = 1 ¡ sin x + C cos x;

¸ =

2 + ¸¼

; нет решений.

41. y(x) = 2 (ex ¡ x ¡ 1) :

42. y(x) = ex ¡ x ¡ 1:

43.

y(x) = sh x:

44. y(x) = cos x:

45. y(x) =

46. y(x) = ex ¡ 1:

ln 2

47. y(x) =

48. y(x) =

1 ¡ ln p

49. y(x) = ex µ1 + x +

¶:

50.

4 ¡

y(x) = x ch x+ sh x:

51. y(x) = 4 cos 2x¡cos x:

53. y(x) = 4 sh 2x:

52. y(x) =

cos 2 ln x + sin 2 ln x ¡ 1:

54. y(x) = x3

55. y(x) = x2( ln x + 1):

56.

¡ x ¡

y(x) = 2ex(x ¡ 1) + x + 2:

57. y(x) = 10e5x

¡ e3x(14 cos 4x + 13 sin 4x):

58.

y(x) =

ch x + xex:

59. y(x) = 2 sh x:

60. y(x) = 3e¡x + 2e4x:

61. y(x) =

2 cos x¡52cos 2x: 62. y(x) = e2x +6x¡5:

63. y(x) = e3x(2 cos x¡sin x)+3:

64.

y(x) =

+ 4x

: Указание. Перед дифференцированием выполнить замену функ-

x + 2

65. y(x) = (x2 + 1)(1 ¡ arctg x):

66. y(x) = x2

2e2x¡2 ¡ 1 :

öèè z = (x + 2)2y:

Указание. Перед дифференцированием выполнить замену функции y¡

= zx:

67.

y(x) = e¡x + ln

: Указание. Умножить уравнение на x + 1 и продиффе-

1 + e¡x

ренцировать

68. y(x) = 1 ¡ e

: Указание. Умножить уравнение на ex + 1 è

x+1

: 70. y(x) = 2x2 ¡1:

продифференцировать

69. y(x) = cos x ¡

sin x ¡

cos x

71. y(x)

(4x + 2) ln (2x + 1) + 4x:

72. y(x) =

sin2 x + 1:

73. y(x) =

(x ln x+1) cos xex:

74. y(x) = x3(sin x+cos x):

75. y(x) = 2 ln x¡1:

76. y(x) =

x cos x)ex¡sin x:

77. y(x) =

tg x

78. y(x) =

sin x ¡ 1

+ 1:

x2 + x + 1

x ¡

1 ¡ 3x2

cos2 x

79. y(x)

earctg x:

80. y(x)

81. y(x)

1 + x:

1 ¡ x4

1 + x2

82. y(x) =

(sin x + sh x):

83. y(x) = xe2x + 1:

84. y(x) = 1 ¡ x2:

85.

y(x) =46x¡x3:

86. y(x)x = (2+x)x2ex:

87. y(x) = e2x(cos x+2 sin x):

88. y(x) =

89. y(x) =

(x2 + 4x + 2):

90. y(x) = 5 sin x ¡ 2 sin x:

91. y(x) =

92. y x

) = 5

93. y x

) =

e¡2x

94. y x

95.

(

¡ 1

(

)

( ) = cos 2

y(x) = ex µcos 2p2x +

sin 2p2x¶:

96. y(x) =

97.

(cos x + sin x) ¡

y x

ch p

98. y x

99. y x

e¡x

3(4

) = 1 +

) =

(1 +

( ) =

3 ¡ 1)

(

)

100. y(x)

ex ¡ 1:

101. y(x) = ¡ex:

102. y(x)

1 ¡ (1 + x)e¡x:

103.

y(x) = 1 ¡ cos x:

Список литературы

[1]А. Б. Васильева, Н. А. Тихонов. Интегральные уравнения. М.: изд. МГУ, 1989.

[2]М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

[3]В. А. Сочнева. Методы математической физики. Часть II. Казань, изд. КГУ, 1978.

[4]И. Г. Петровский. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: изд. МГУ, 1984.

[5]Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979.

[6]Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред. А. В. Ефимова. М.: Наука, 1984.

Содержание

Предисловие	3
Основные понятия и определения	3
Интегральные уравнения Фредгольма	4
Метод последовательных приближений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
Метод итерированных ядер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром . . . . . . . . . . . . . . .	9
Собственные значения и собственные функции . . . . . . . . . . . . . . .	11

Интегральные уравнения Вольтерра	15
Метод последовательных приближений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
Решение интегрального уравнения путем сведения его к
дифференциальному уравнению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденным ядром . . . . . . .	20
Интегральные уравнения Вольтерра с разностным ядром . . . . . . . . .	22
Интегро-дифференциальные уравнения с разностным ядром . . . . . . .	25
Ответы	27
Список литературы	29

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.09.201984.8 Кб4Informatsionnaya_sistema_upravlenia.docx
#
01.05.2025455.68 Кб0Innovatsionny_menedzhment.doc
#
01.05.2025128 Кб1innovats_menedzhment.doc
#
27.09.2019878.59 Кб4Inostrannyy_yazyk.doc
#
06.09.2019540.16 Кб31instructions.doc
#
10.02.2015271.71 Кб65Integralnye_uravnenia.pdf
#
25.11.2019101.74 Кб17Inter.Lect..docx
#
10.02.2015322.56 Кб20inzhenerka (1).doc
#
10.02.2015144.21 Кб35iogp (1).rtf
#
10.02.20151.74 Mб202IOGP.rtf
#
23.09.2019229.38 Кб23iogp_14_voprosov.doc