Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Integralnye_uravnenia

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

271.71 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

В. А. Попов

Сборник задач по интегральным уравнениям

Казань 2006

ÓÄÊ 517.968

В. А. Попов. Сборник задач по интегральным уравнениям. Казань, 2006. 30 с.

Табл. 1. Библиогр.: 6 назв.

Сборник задач содержит материалы для практических занятий по курсам: ½Интегральные уравнения и ½Операционное исчисление . Предназначен для студентов физического факультета, обучающихся по специальностям ½Физика , ½Радиофизика , ½Астрономия и ½Астрономо-геодезия .

Печатается по решению Редакционно-издательского совет физического факультета Казанского государственного университета.

Рецензент:	доцент кафедры высшей математики КГТУ им. А. Н. Туполева,
	к.ф.-м.н М. Х. Бренерман.

°c Казанский государственный университет, 2006 г.

Предисловие

Сборник содержит задачи по курсу ½Интегральные уравнения и разделу ½Операционное исчисление курса ½Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление , читаемых на физическом факультете Казанского государственного университета. Сборник содержит более 100 задач, часть из которых взята из задачника под редакцией А. В. Ефимова [6]; большинство задач составлены заново.

В начале каждого параграфа изложены методы, необходимые для решения задач этого параграфа и приведены примеры решения типовых задач.

Основные понятия и определения

Интегральным называется уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла. Интегральные уравнения вида

	Zb K(x; t) y(t) dt = f(x)	(1)
	a
è	Zb
	Zb	(2)
	y(x) = ¸ K(x; t) y(t) dt + f(x)	(2)

называются линейными интегральными уравнениями Фредгольма 1-го и 2-го рода, соответственно. Здесь y(x) искомая функция, K(x; t) è f(x) известные

функции, заданные на отрезке [a; b]. Функция K(x; t) называется ядром инте-

грального уравнения, а f(x) свободным членом этого уравнения. Если f(x) = 0, уравнение называется однородным.

Интегральные уравнения вида

Zx K(x; t) y(t) dt = f(x)		(3)
a	Zx
è		(4)
y(x) = ¸	K(x; t) y(t) dt + f(x)

называются линейными интегральными уравнениями Вольтерра 1-го и 2-го рода, соответственно. Ядро интегрального уравнения Вольтерра определяется в треугольнике a · x · b; a · t · x.

K(x; t);

a · t · x; x < t · b:

ßäðî K(x; t) интегрального уравнения (2) называется вырожденным, если оно может быть представлено в виде

n
Xk	(5)
K(x; t) = pk(x)qk(t):	(5)
=1

Ненулевые значения параметра ¸, при которых однородное уравнение Фред-

гольма
y(x) = ¸ Za b K(x; t) y(t) dt	(6)

имеет нетривиальные решения, называются характеристическими числами этого уравнения (или ядра K(x; t)), а сами решения собственными функциями,

соответствующими характеристическому числу ¸. Числа ¹ = 1=¸ называются

собственными числами интегрального уравнения.

Интегральные уравнения Вольтерра (4) формально могут рассматриваться как частный случай уравнений Фредгольма (2) с ядром:

K1(x; t) =

Несмотря на это, методы решения уравнений Фредгольма отличаются от методов решения уравнений Вольтерра из-за тех требований, которые при этом накладываются на ядро интегрального уравнения (например, условие непрерывности).

Интегральные уравнения Фредгольма

Метод последовательных приближений

Если в уравнении Фредгольма (2) числовой параметр ¸ удовлетворяет условию

j¸j < B ; ãäå B2 =		Za	Za	jK(x; t)j2 dx dt;	(7)
1		b		b

то уравнение (2) имеет единственное решение. В этом случае оно может быть найдено методом последовательных приближений. Выбрав произвольным образом нулевое приближение y0(x), можно построить последовательность функций

yn(x):

y1(x) = ¸ K(x; t) y0(t) dt + f(x);

y2(x)	=	¸ Za b		K(x; t) y1(t) dt + f(x);	(8)
: : : : : :		: : :	: : :
yn(x) =		¸ Za b K(x; t) yn¡1(t) dt + f(x);
: : :	: : :	: : :		: : :

Эта последовательность сходится к точному решению y(x), òî åñòü lim yn(x) =

n!1

y(x).

Пример 1. Решить методом последовательных приближений интегральное
уравнение		Z0	1
1

y(x) = sin ¼x +			y(t) dt:
	2
Решение. В этом уравнении ¸ = 1=2, à K(x; t) = 1. Поэтому

Z1 Z1 Z1 Z1

B2 = jK(x; t)j2 dx dt = jK(x; t)j2 dx dt = 1;

0 0 0 0

и условие j¸j < 1=B выполнено. В качестве нулевого приближения возьмем y0 = sin ¼x и построим следующие приближения:

y1(x)

sin ¼x +

y0(t) dt = sin ¼x +

sin ¼t dt = sin ¼x +

;

µsin ¼t +

¶ dt = sin ¼x +

y2(x)

sin ¼x +

y1(t) dt = sin ¼x +

;

2¼

µsin ¼t +

¶ dt =

y3(x) =

sin ¼x +

y2(t) dt = sin ¼x +

2¼

sin ¼x +

2¼

4¼

Вычислив несколько первых членов последовательности fyn(x)g, замечаем, что n-ое приближение может быть записано в следующем виде:

1 1 1

n¡1

yn(x) = sin ¼x + ¼ + 2¼ + 22¼ + : : : + 2n¡1¼

= sin ¼x + ¼

2k :

Точное решение находим как предел

	1	1	1	2
		Xk
y(x) = lim yn(x) = sin ¼x +	¼	Xk	k = sin ¼x +	¼	:
n!1	¼	=0	2	¼
		=0

Решить интегральные уравнения методом последовательных при-
ближений.	ex¡ty(t) dt + ex:	2. y(x) =	Z0		x ex¡ty(t) dt + ex:
1. y(x) = 2 Z0	ex¡ty(t) dt + ex:	2. y(x) =	Z0		x ex¡ty(t) dt + ex:
1	1				1
1			1		¼=2


3. y(x) = Z xt y(t) dt + p1 ¡ x2:		4. y(x) =			Z x sin t y(t) dt + sin x:
3. y(x) = Z xt y(t) dt + p1 ¡ x2:		4. y(x) =		2	Z x sin t y(t) dt + sin x:

0		xty(t) dt + ln x:
5. y(x) = Z1		xty(t) dt + ln x:
	e
		ln

Z2 r

7. y(x) = tx3 y(t) dt + x3=2:

	0
6. y(x) = Z0 1 p					y(t) dt + x:
			xt
	¼
8. y(x) =	1	Z		t sin x y(t) dt + cos x:

	2¼

Метод итерированных ядер

Если в методе последовательных приближений выбирать y0(x) = f(x), òî äëÿ n-ого приближения можно получить формулу

n			b
n		a
X		a
yn(x) = f(x) + m=0 ¸m+1 Z Km(x; t)f(t) dt =
= f(x) + ¸ Zb	n	¸mKm(x; t)f(t) dt;
	X

am=0

âкоторой итерирированные ядра Km(x; t) определяются с помощью соотношений

K0 ´ K(x; t); Km(x; t) = K(x; s)Km¡1(s; t) ds:

Ïðè n ! 1 под знаком интеграла получаем ряд

1
X
¸mKm(x; t):	(9)
m=0

Для некоторых значений ¸ этот ряд сходится к функции R(x; t; ¸), которая назы-

вается резольвентой ядра K(x; t). В этом случае решение интегрального уравнения может быть найдено по формуле

y(x) = f(x) + ¸ Zb R(x; t; ¸) f(t) dt:	(10)
a

При этом область сходимости ряда (9) может оказаться шире, чем это определяется условием (7).

Вообще говоря, понятие резольвенты, как функции, с помощью которой решение интегрального уравнения (2) может быть найдено с помощью формулы (10), имеет смысл для любых значений ¸, при которых уравнение имеет единственное

решение.

Пример 2. Решить методом итерированных ядер интегральное уравнение

y(x) = ¸ Z0	x
	1 + t2 y(t) dt + 1 + x2:

Решение. Найдем последовательность итерированных ядер:

K0(x; t) = K(x; t) =

;

K1(x; t) =

1 + t

1 + s2 1 + t2 ds = 2 1 + t2 ;

K(x; s)K(s; t) ds =

ln 2

K2(x; t) =

K(x; s)K1(s; t) ds = 2

1 + s2 1 + t2 ds = µ 2

1 + t2 ;

ln 2 2

: : : : : : : : : : : : m

1 + t2 :

Km(x; t) =

22¶

Находим резольвенту:

2¶

1 + t2

¢ 2

¸ ln 2: (11)

R(x; t; ¸) = m=0

¸mKm(x; t) = 1 + t2 m=0 ¸m

Радиус сходимости этого ряда j¸j < 2= ln 2 ¼ 2; 885. Для данного уравнения

1	1	1	1	x2
B2 = Z0	Z0	jK(x; t)j2 dx dt = Z0	Z0			¼ + 2	)	1	¼ 2; 161:
					dx dt =
				(1 + t2)2		24		B

Таким образом, область сходимости ряда (9) для резольвенты оказалась шире, чем это диктуется условием (7). Решение уравнения находим из формулы (10):

y(x) = 1 + x2 + 2	¸ ln 2 Z	1	1 + t2		¡	1 + t2	¢	dt = 1 + x2 + 2 ¸ ln 2: (12)
¡	0							¡
	2			x					4x

Прямой подстановкой можно легко убедиться, что решение (12) удовлетворяет уравнению не только для значений ¸, лежащих в области сходимости ряда, но и

при любых значениях ¸ 6= 2= ln 2.

Пользуясь методом итерированных ядер, найти резольвенту и указать область сходимости ряда (9). С помощью резольвенты найти решение интегрального уравнения при указанном значении ¸ è ïðî-

верить его прямой подстановкой.

9. y(x) = ¸	ex¡ty(t) dt + ex; ¸ = 2:
0
10. y(x) = ¸ Z0	1	x ex¡ty(t) dt + ex;			¸ = ¡2:
11. y(x) = ¸ Z1
11. y(x) = ¸ Z1		xt y(t) dt + 1 ¡ x2;				¸ = 6:
0				p
¼=2
12. y(x) = ¸ Z0			x sin t y(t) dt + sin x;			¸ = 4:
13. y(x) = ¸ Z	e		ln
			ln
			t	y(t) dt + ln x;	¸ = e:
			x	y(t) dt + ln x;	¸ = e:

14. y(x) = ¸ (xt ¡ t) y(t) dt + sin ¼x; ¸ = 3:

Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром

Уравнение Фредгольма (2) с вырожденным ядром (5) может быть сведено к системе алгебраических уравнений. Для этого перепишем уравнение (2) в следующей форме:

n		b	n
n	a		n
X	a		X
y(x) = ¸ k=1 pk(x) Z			qk(t) y(t) dt + f(x) = ¸ k=1 ckpk(x) + f(x);	(13)
где числа			ck = Zb qk(t) y(t) dt:
			ck = Zb qk(t) y(t) dt:	(14)

Из выражения (13) видно, что решение y(x) будет найдено как только будут опре-

делены все константы ck. Подставим вместо функции y(x) в интеграле (14) выражение (13):

ck	=	b qk(t) Ã¸	n	cipi(t) + f(t)! dt =
	Z		X

ai=1

n		b	b	n
n	a	a		n
X	a	a		X
= ¸ i=1 ci	Z	pi(t) qk(t) dt + Z		qk(t) f(t) dt = ¸ i=1 ciaki + bk;

где константы

aki = Za b pi(t) qk(t) dt;

bk = Za b qk(t) f(t) dt:

(15)

Теперь, вместо интегрального уравнения, мы имеем эквивалентную ему систему линейных алгебраических уравнений

n
Xi
ck ¡ ¸ akici = bk	(16)
=1

относительно неизвестных чисел ck. Решив эту систему и подставив ck â (13), ïîëó-

чим решение исходного интегрального уравнения. Число решений интегрального уравнения с вырожденным ядром или его неразрешимость будут, таким образом, определяться свойствами алгебраической системы (16).

Пример 3. Решить интегральное уравнение

y(x) = sin 2x + Z	µ	¼ sin x sin t + t¶y(t) dt:
¼		1
¡¼

Решение. Ядро данного интегрального уравнения вырожденное. Коэффициент
¸ примем равным 1. Обозначая
	1
p1(x) =			sin x; p2(x) = 1;		q1(t) = sin t; q2(t) = t;
		¼
найдем коэффициенты уравнений (16) по формулам (15):
a11	= Z			¼ sin2 t dt = 1;	a12	= Z	sin t dt = 0;
	¼			1		¼
a21	¡¼			¼ t sin t dt = 2;	a22	¡¼	t dt = 0;
	= Z					= Z
	¼			1		¼
	¡¼					¡¼
b1 = Z¼ sin t sin 2t dt = 0;					b2 = Z¼ t sin 2t dt = ¡¼:
	¡¼					¡¼

Система (16) примет вид

0 ¢ c1 + 0 ¢ c2 = 0 ¡2c1 + c2 = ¡¼

Общим решением этой системы будет c1 = C; c2 = 2C ¡¼, ãäå C произвольная

постоянная. Следовательно, решением заданного интегрального уравнения будет
любая функция вида		µ¼ sin x + 2¶
y(x) = sin 2x + C ¢ ¼ sin x + (2C ¡ ¼) ¢ 1 = sin 2x ¡ ¼ + C
1		1

с произвольной константой C.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.2018114.18 Кб1Inf1-LR20.doc
#
03.05.201912.78 Mб47informatika.doc
#
23.09.201984.8 Кб0Informatsionnaya_sistema_upravlenia.docx
#
27.09.2019878.59 Кб2Inostrannyy_yazyk.doc
#
06.09.2019540.16 Кб14instructions.doc
#
10.02.2015271.71 Кб40Integralnye_uravnenia.pdf
#
25.11.2019101.74 Кб4Inter.Lect..docx
#
10.02.2015322.56 Кб5inzhenerka (1).doc
#
10.02.2015144.21 Кб19iogp (1).rtf
#
10.02.20151.74 Mб160IOGP.rtf
#
23.09.2019229.38 Кб3iogp_14_voprosov.doc