Lektsia02_2013
.pdf
Импеданс
Мгновенное значение мощности P(t) пропорционально U2. Выберем коэффициент пропорциональности равным 2. Тогда
P(t) 2U2 2U02 cos2( t kx ) U02 1 cos 2( t kx ) .
среднее значение 
равно нулю
Мгновенная мощность изменяется во времени с удвоенным значением круговой частоты - 2 , и изменяется от 0 до 2P.
Средняя мощность равна P U02
Мощность волны - это величина, имеющая направление.
Отражение и прохождение волн
Рассмотрим бесконечно простирающуюся от х=- до х=+ струну, состоящую из двух частей с различными линейными плотностями 1 и 2, соединенных в точке х=0. Натяжение Т считаем неизменным по всей длине струны. Волновые скорости и импедансы для отрезков 1 и 2 различаются и равны:
C1 
T 1 ,C2 
T 2 ,Z1 1C1,Z2 2C2
|
Uпад(x,t) U0 cos( t kx) |
Z1 Z2 |
||
х=- |
Тогда на отрезок 1 действует |
|||
х=0 |
Uпад(0,t) U0 cos( t) |
избыточная сила |
||
|
Uотр (0,t) |
|
||
|
|
Z1 |
|
|
|
|
t |
||
|
|
|
||
Отражение и прохождение волн
В непосредственной близости от точки х=0 смещение струны справа и слева от границы раздела равны, т.е. должно выполняться условие:
Uпад |x 0 Uотр |x 0 Uпрох |x 0
Uпад |
U0 cos( t k1x), |
U0 U1 U2 |
|
|
Uотр U1 cos( t k1x), |
I |
|||
Uпрох |
U2 cos( t k2x). |
|
U |
|
|
II Непрерывность поперечной силы – T |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
Отражение и прохождение волн
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
U |
|
cos( t k x) U |
cos( t k x) T |
|
U |
|
cos( t k |
x) |
||
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
x |
2 |
2 |
|
|||
U0Tk1 sin( t k1x) k1U1 sin( t k1x) U2k2T sin( t k2x)
k1 
c1; k2 
c2; T
c1 1c1 Z1; T
c2 2c2 Z2.
в точке х=0 |
Z1 U1 U0 Z2U2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
находим коэффициент |
коэффициент пропускания: |
|||||||||||||||||
отражения (по амплитуде): |
||||||||||||||||||
|
U |
отр |
|
Z |
|
Z |
|
|
T |
Uпрох |
|
2Z |
1 |
|
|
|||
R |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U |
|
Z |
|
Z |
|
|
U |
|
Z Z |
|
|
|||||||
12 |
|
пад |
|
1 |
2 |
|
12 |
|
пад |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
Отражение и прохождение волн
Рассмотрим два случая отношения импедансов:
а) |
Z2 |
|
б) |
Z2 |
0 |
|
|
||||||
Z1 |
Z1 |
|||||
|
|
|
|
|||
R12=-1 |
|
R12=1 |
||||
Отражение и прохождение волн
Если рассматривать единичный отрезок струны как гармонический осциллятор, совершающий колебания около равновесного положения с частотой волны, то его энергия будет:
E 1
2 2Uпад2
Скорость переноса энергии вдоль струны, определяется произведением Е на скорость распространения волны:
1
2 1с1 2Uпад2 1
2 Z1 2Uпад2
Скорость уноса энергии:
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
U |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отр |
|
|
|
Uпрох |
|
||||||||||||||||||||
|
Z U |
отр |
|
|
|
|
Z |
U |
прох |
|
|
U |
пад |
|
Z |
1 |
|
|
|
|
|
Z |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
U |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пад |
|
|
|
|
пад |
|
|||||||||||
|
1 |
|
2U |
2 |
|
|
Z |
|
Z Z |
2 |
2 |
Z |
|
2Z |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2ZU2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
пад |
1 |
Z1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
Z1 |
Z2 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Z2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
пад |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Согласование импедансов двух сред
Целью согласования импедансов является создание режима бегущей волны при распространении ее из одной среды в другую. Рассмотрим случай согласования импедансов двух сред в узком диапазоне частот.
Данный способ состоит во введении между средами с импедансами Z1 и Z3 дополнительной среды с импедансом Z2
Uпад(x,t) U0 cos( t k1x)
Uотр (0,t) R12U0 cos( t k1x)
Uотр(l,t) T12R23T21U0 cos( t k1x 2k2l)
Согласование импедансов двух сред
Если коэффициенты отражения малы в сравнении с единицей, можно пренебречь вкладом многократно отраженных волн и ограничиться рассмотрением только первых двух отражений.
R и R 1 T12T21 1 R12 1 R21 1 R122 |
1 |
|||||||||
12 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
Uотр R12U0 cos( t k1x) R23U0 cos( t k1x 2k2l) |
||||||||||
|
|
|
Z1 |
Z2 |
Подберем Z2 таким образом, что бы R12=R23 |
|
||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12 |
|
|
Z1 |
Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z2 |
|
Z1Z3 |
|
||||
R |
|
Z2 |
Z3 |
|
|
|||||
Z2 |
Z3 |
|
|
|
|
|
|
|||
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласование импедансов двух сред
Uотр R12U0 cos( t k1x) cos( t k1x 2k2l) = 0
2k2l |
2l 2 |
l
4
Рассмотренный способ согласования пригоден лишь для узкого интервала частот. Согласования в широкой полосе частот можно добиться с помощью устройства (среды), в котором импеданс монотонно изменяется на длине l, а на длине, равной четверти длины любой из передаваемых волн, изменяется на очень маленькую величину.