ConspectMolPhizikaLekzii2013

Молекулярно-кинетическое толкование термодинамической температуры

Учитывая, что

n = N/V = NA (m/M)/V, где V - объем газа, получим из (14)

(15).

Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева

,

и тогда

(16).

Таково молекулярно-кинетическое толкование

термодинамической температуры.

Учитывая, что

,

где

средний квадрат скорости молекул газа, с учетом (16), получим

11

,

откуда находим среднюю квадратичную скорость

Закон Дальтона

Если в сосуде находится i сортов газа, то общее давление в сосуде будет определяться, как известно, соотношением

.

Тогда, если

,

где – парциальное давление.

12

Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Рисунок 3.

Рассмотрим газ в сосуде. Если атмосферное давление на высоте h равно , то на высоте h+dh оно равно (при

, т.к. давление с высотой убывает).

Разность давлений и равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой с основанием 1 м2:

,

где - плотность газа.

Следовательно,

(17).

Воспользовавшись уравнением

13

,

находим, что

.

Подставив это выражение в (17), получим

Или

(18).

Интегрируя (18) от до находим,

.

Проведя потенцирование получим барометрическую формулу.

(19),

где

.

Формулу (19) можно преобразовать, если воспользоваться выражением (9)

14

:

(20),

где

- потенциальная энергия молекулы в поле тяготения

(21).

Больцман доказал, что формула (21) справедлива в случае потенциального поля любой природы.

15

Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям

В газе, находящемся в состоянии равновесия, установится некоторое стационарное распределение молекул по скоростям, которое подчиняется статистическому закону. Закон был теоретически выведен Максвеллом в 1859 г.

Рисунок 4.

При выводе этого закона Максвелл предполагал, что газ состоит из

очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии теплового движения при одинаковой температуре.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией , называемой функцией распределения молекул по скоростям (без вывода):

(22)

16

Рисунок 5.

Функция характеризует плотность вероятности того, что

скорость молекулы равна и поэтому эта функция удовлетворяет условию нормировки

(23)

Анализ показывает, что вид функции (22) зависит от массы

начинаясь от нуля, достигает максимума при и затем стремится к нулю.

17

Рисунок 6.

Используя функцию распределения, можно найти число молекул

, скорости которых лежат в интервале от до

(24)

которое находится как площадь dS полоски (рисунок 6).

Скорость, при которой функция распределения молекул по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной

скоростью .

Исследование (22) на максимум позволило найти наиболее вероятную скорость молекул

(25).

18

Кроме наиболее вероятной и средней квадратичной скорости

молекул газа, используется также средняя скорость молекул или средняя арифметическая скорость.

Она определяется по формуле

Подставляя [cм. соотношение (22)] и интегрируя, получим

(26).

Можно показать, что значения этих скоростей относятся друг к другу как:

.

Эти значения на графике функции распределения молекул по скоростям могут быть схематически обозначены как (рисунок 7):

Рисунок 7.

19

Средняя и средняя квадратичная скорости превышают наиболее вероятную скорость на 13 и 22 % соответственно.

Исходя из распределения молекул по скоростям (22), можно найти

распределение молекул газа по кинетическим энергиям

поступательного движения молекул

.

Это распределение характеризуется функцией , которая вводится аналогично (без вывода)

(27).

20