Конспект лекций по ДУ. Плещинский

суммы сходящихся степенных рядов), принято называть специальными функциями.

Уравнение Бесселя имеет вид x2 y00+x y0+(x2 ¡m2) y = 0, здесь m некоторое число (параметр).

и называть функцией Бесселя порядка m.

Если выбрать k = ¡m, то получим еще одно частное решение уравнения Бесселя J¡m(x). Если число m не целое, то найденные частные решения линейно независимы и образуют ФСР урав-

нения Бесселя. Если же m целое число, то J¡m(x) = Jm(x). В этом случае по функции Бесселя, как по частному решению линейного уравнения, можно найти другое частное решение уравнения Бесселя функцию Неймана Ym(x) = Jm(x) ln x + xk +P1 anxn.

n=0

Пример 1. x2 y00 + x y0 + (3x2 ¡ 4) y = 0. Пример 2. x2 y00 + x y0 + (x2 ¡ 1=4) y = 0.

13. Краевые задачи для линейных ДУ 2-го порядка

Рассмотрим линейное ДУ 2-го порядка y00 + p(x)y0 + q(x)y = f(x). Краевая задача для этого

уравнения ставится так: найти на отрезке [x1; x2] решение, удовлетворяющее условиям

®1y0(x1) + ¯1y(x1) = °1; ®2y0(x2) + ¯2y(x2) = °2.

Условия краевой задачи, заданные в точках x1 è x2, могут быть неоднородными в общем случае,

àмогут быть и однородными.

II. Краевая задача с неоднородными краевыми условиями приводится к задаче с однородными краевыми условиями.

Доказательство. Пусть y0(x) дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая неод-

нородным краевым условиям. Такая функция всегда найдется. Введем новую искомую функцию z(x) òàê, ÷òî y(x) = y0(x) + z(x). Эта функция по построению должна удовлетворять однородным краевым условиям (но неоднородному уравнению, причем с другой правой частью).

Поэтому будем рассматривать в дальнейшем только однородные краевые условия в краевых задачах. Будем называть краевую задача однородной, если правая часть соответствующего ДУ равна нулю.

III. Если у однородной краевой задачи имеется только нулевое решение, то неоднородная задача может иметь только одно решение.

21

Доказательство. Разность решений неоднородной задачи является решением однородной задачи, следовательно, эта разность тождественно равна нулю, и тогда решения совпадают.

13.1. Метод пристрелки и метод прогонки

Тогда y(x) = y1(x) + "y2(x) при любом значении " решение неоднородного ДУ, удовлетворяющее первому краевому условию. Подберем число " так, чтобы функция y(x) удовлетворяла бы и вто-

рому краевому условию, т.е. y10 (x2)+"y20 (x2)+¯[y1(x2)+"y2(x2)] = 0. Отсюда " = ¡y100 (x2) + ¯y1(x2)

y2(x2) + ¯y2(x2).

(Если знаменатель дроби равен нулю, то у однородной краевой задачи было бы ненулевое решение

y2(x)).

¹(x) = p(x) ¡º(x). Исключим функцию ¹(x) из пары уравнений и добавим к ДУ для функции º(x)

условие0 Êîøè :

º (x) + º(x)[p(x) ¡ º(x)] = q(x); º(x1) = ®.

Обозначим z(x) = y0(x) + º(x)y(x). Добавим к уравнению для функции z(x) условие Коши :

z0(x) + [p(x) ¡ º(x)]z(x) = f(x); z(x1) = 0.

Наконец, запишем условия задачи Коши для функции y(x) : y0(x) + º(x)y(x) = z(x); y(x2) = A. Значение постоянной A определяется из системы уравнений

y0(x2) + ¯y(x2) = 0; y0(x2) + º(x2)y(x2) = z(x2). Отсюда A = z(x2)

º(x2) ¡ ¯ .

В итоге получилось, что решение краевой задачи для ДУ 2-го порядка свелось к последовательному решению трех задач Коши для ДУ 1-го порядка.

13.2. Метод функции Грина

Рассмотрим краевую задачу y00 + p(x)y0 + q(x)y = f(x); y0(x1) + ®y(x1) = 0; y0(x2) + ¯y(x2) = 0.

Теорема 1. Если однородная краевая задача имеет только нулевое решение, то существует такая функция G(t; x) (функция Грина), что решение краевой задачи имеет вид

y(x) = Rx2 f(t)G(t; x) dt.

x1

Доказательство. Пусть y1(x) решение однородного уравнения, удовлетворяющее первому краевому условию, и y2(x) решение однородного уравнения, удовлетворяющее второму краевому условию. Функция y1(x) не может удовлетворять второму краевому условию (иначе y1(x) будет

ненулевым решением однородной краевой задачи). Аналогично, функция y1(x) не может удовлетворять первому краевому условию.

Функции y1(x) è y2(x) ФСР однородного линейного уравнения. Если предположить, что их определитель Вронского W (x) равен нулю, и, следовательно, строки его пропорциональны, полу-

чается, что каждая из этих функций удовлетворяет двум краевым условиям. Будем искать решение неоднородной краевой задачи методом вариации произвольных постоянных, т. е. в виде

y = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x).

Запишем систему уравнений для определения функций C1(x) è C2(x) :

C10 (x)y1(x) + C20 (x)y2(x) = 0; C10 (x)y10 (x) + C20 (x)y20 (x) = f(x).

22

называется линейный дифференциальный оператор L¤[y] = P(¡1)j(pj(x)y)(j).

j=0

Оператор L[y] называется самосопряженным, если L¤[y] = L[y].

Ïðè n = 2 имеем L[y] = p2(x)y00 +p1(x)y0 +p0(x)y è L¤[y] = (p2(x)y)00 ¡(p1(x)y)0 +p0(x)y. Отсюда

видно, что линейный дифференциальный0 оператор 2-го порядка является самосопряженным тогда и только тогда, когда p2(x) = p1(x).

Лемма 1. Любое линейное однородное уравнение 2-ãî порядка можно привести к самосопряженному виду.

Доказательство. Умножим уравнение L[y] = 0 на функцию ¹(x) и потребуем, чтобы новое уравнение было самосопряженным. Тогда функция ¹(x) должна удовлетворять условию [(¹(x)p0(x)]0 = ¹(x)p1(x). Решение этого уравнения с разделяющимися переменными может быть найдено в квадратурах. ²

Поэтому линейные0 0 самосопряженные ДУ 2-го порядка будем записывать в виде

L[y] = (p(x)y ) + q(x)y = 0.

Лемма 2. Åñëè L[y] самосопряженный дифференциальный оператор 2-го порядка, то

L[y](x)z(x) ¡ y(x)L[z](x) = [p(x)(y0(x)z(x) ¡ y(x)z0(x))]0 (тождество Лагранжа).

Доказательство непосредственная проверка. Раскроем скобки слева и справа и получим одно и то же. ²

Рассмотрим краевую задачу для самосопряженного ДУ 2-го порядка

L[y] = f(x); y(x1) = 0; y(x2) = 0.

Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет ненулевое решение y0(x), то неоднородная краевая задача разрешима тогда и только тогда, когда Rx2 f(t) y0(t) dt = 0. При этом ее решение

x1

имеет вид y(x) = Rx2 f(t)G(t; x) dt, ãäå G(t; x) обобщенная функция Грина.

x1

Условие разрешимости краевой задачи следствие формулы Грина. Если y(x) решение неод-

нородной задачи и y0(x) решение однородной задачи, то L[y] = f(x) è L[y0] = 0, а в силу краевых условий в правой части формулы Грина все слагаемые равны нулю.

Так как решение неоднородной краевой задачи определяется с точностью до слагаемого cy0(x), то и в обобщенной функции Грина должна содержаться произвольная постоянная.

Пример. y00 + y = f(x); y(0) = 0; y(¼) = 0.

13.4. Задача на собственные значения (задача Штурма-Лиувилля)

Пусть L[y] = (p(x)y0)0 + q(x)y самосопряженный дифференциальный оператор и функция r(x) > 0. Задача Штурма-Лиувилля (или задача на собственные значения) состоит в следующем: найти значения параметра ¸, при которых существует ненулевое решение краевой задачи

L[y] + ¸r(x)y = 0; ®1y0(x1) + ¯1y(x1) = 0; ®2y0(x2) + ¯2y(x2) = 0.

23

Такие значения параметра ¸ называются собственными значениями, а соответствующие им нену-

левые решения задачи собственными функциями.

Пример. y00 + ¸y = 0; y(0) = 0; y(¼) = 0. ÑÇ ¸n = n2, ÑÔ yn(x) = sin nx, n = 1; 2; : : :

Перечислим основные свойства собственных значений (СЗ) и собственных функций (СФ).

I. Существует бесконечное счетное множество СЗ и соответствующих им СФ задачи на собственные значения.

¸. Доказывается это трудно. Один из способов перейти к интегральному уравнению с параметром

ëÿ).II. Каждому СЗ соответствует единственная СФ (с точностью до постоянного множите-

Доказательство. Предположим, что СЗ ¸ соответствует две СФ y1(x) è y2(x), причем они линейно

независимы. Тогда, например при x = x1 имеем ®1y10 (x1) + ¯1y1(x1) = 0; ®1y20 (x1) + ¯1y2(x1) = 0. Определитель этой системы уравнений (определитель Вронского) равен нулю. Поэтому функции не могут быть линейно независимыми. ²

ряет краевым условиям, то она разлагается в равномерно сходящийся на [x1; x2] ряд по СФ задачи Штурма-Лиувилля.

Без доказательства.

14. Динамические системы. Теория устойчивости

Динамической системой (или автономной) называют систему ДУ вида x0 = f(x), здесь x(t) искомая n-мерная вектор-функция.

Если задана система ДУ в нормальной форме x0 = f(t; x), то всегда можно перейти к динами- ческой системе, если ввести новую искомую функцию xn+1 = t.

Напомним, что пространство переменных x1; : : : ; xn называется фазовым пространством, а гра- фики решений динамической системы траекториями.

Будем предполагать, что функция f(x) определена и непрерывна в некоторой области фазового

пространства и удовлетворяет условию Липшица в каждом ограниченном замкнутом множестве, содержащемся в этой области. Тогда через каждую точку области проходит какая-то траектория, причем только одна (задача Коши имеет решение, и оно единственно).

14.1. Свойства решений динамических систем

I. Åñëè x = '(t) è x = Ã(t) две траектории и '(t1) = Ã(t2), òî Ã(t) = '(t + t1 ¡ t2) (если траектории имеют общую точку, то они совпадают).

Доказательство. Если x = '(t) решение динамической системы, то x = '(t+c) тоже. Найдем

значение постоянной c так, чтобы '(t2 + c) = '(t1). Очевидно, c = t1 ¡ t2. Решения x = '(t + c) è x = Ã(t) удовлетворяют одному и тому же условию Коши. Следовательно, они совпадают. ²

Решение динамической системы вида x = a, a постоянный вектор, называется точкой покоя (или положением равновесия). Ясно, что x = a точка покоя тогда и только тогда, когда f(a) = 0.

24

Число p называется периодом решения x = '(t), åñëè '(t + p) = '(t) 8t. Будем обозначать P множество всех периодов решения x = '(t).

II. 1) åñëè p 2 P , òî ¡p 2 P ; 2) åñëè p1; p2 2 P , òî p1 +p2 2 P ; 3) P замкнутое множество.

Первые два утверждения очевидны. Докажем третье. Пусть pn ! p0. Тогда

'(t + p0) = '(t + lim pn) = lim '(t + pn) = lim '(t) = '(t). ²

Решение x = '(t) динамической системы называется периодическим, если

1) 9p > 0 : '(t + p) = '(t) 8t; 2) '(t1) =6 '(t2) 8t1; t2 j 0 < jt1 ¡ t2j < p.

Траекторию периодического решения называют циклом.

III. Если траектория динамической системы сама себя пересекает, то она или цикл, или точка покоя.

Доказательство. Пусть x = '(t) решение динамической системы, определенное при a < t < b.

Пусть найдутся t1; t2 2 (a; b) такие, что '(t1) = '(t2), причем c = t1 ¡ t2 > 0.

Рассмотрим функцию Ã(t) = fa < t < b : '(t); a ¡ c < t · a : '(t + c)g. Эта функция

также является решением динамической системы, но уже в другом интервале. Продолжим ее таким способом на всю числовую прямую (¡1; +1). Òàê êàê Ã(t + c) = Ã(t), òî c период.

Рассмотрим множество P всех периодов решения x = Ã(t) (это множество не пустое). Возможны два случая: 1) в P найдется наименьшее положительное число; 2) не найдется.

Пусть p0 наименьшее положительное число в P , Ã(t + p) = Ã(t). Пусть 0 < jt1 ¡ t2j < p0.

Таким образом, любая траектория динамической системы или является циклом, или точка покоя, или сама себя не пересекает.

14.2. Траектории динамических систем на плоскости

Рассмотрим траектории линейных динамических систем0 2-го порядка с вещественными0 постоянными коэффициентами, т. е. систем уравнений вида x1 = a11x1 + a12x2; x2 = a21x1 + a22x2.

По собственным значениям ¸1; ¸2 матрицы коэффициентов и соответствующим им собственным векторам h1; h2 построим траектории на плоскости.

1) Пусть собственные значения вещественные и различные. Общее решение динамической системы имеет вид x(t) = c1h1e¸1t + c2h2e¸2t.

a) Åñëè ¸1 < 0; ¸2 < 0, то имеем семейство линий на плоскости, проходящих через начало координат. При t ! +1 точка x = '(t) движется по траекториям к началу координат. Такое

расположение траекторий называют устойчивым узлом.

b) Åñëè ¸1 > 0; ¸2 > 0, то рисунок точно такой же, но при t ! +1 точка x = '(t) движется по траекториям от начала координат в бесконечно удаленную точку. Такое расположение траекторий называют неустойчивым узлом.

c) Åñëè ¸1 < 0 < ¸2, то траектории асимптотически приближаются к прямым, построенным как продолжение собственных векторов. Такое расположение траекторий называют седлом.

Аналогичным образом исследуются остальные возможные случаи. 2) Собственные значения комплексные точка покоя и центр. 3) Одно из собственных значений равно нулю.

4) Собственные значения вещественные и равны друг другу (кратное СЗ) фокус.

14.3. Теоремы об устойчивости и неустойчивости

Рассмотрим систему ДУ в нормальной форме x0k = fk(t; x1; : : : ; xn); k = 1 : : n (1).

Условие Коши xk(t0) = x0k позволяет из множества всех ее траекторий выделить единственную проходящую через заданную точку.

25

Из теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Коши от исходных данных следует, что если начальные точки двух траекторий расположены близко друг от друга, то эти траектории мало отличаются друг от друга при t > t0, но, вообще говоря, при малых значениях t ¡ t0.

В теории устойчивости исследуется поведение траекторий, начальные точки которых близки, при сколь угодно больших значениях t.

Решение 'k(t); k = 1 : : n системы ДУ (1) называется устойчивым по Ляпунову, если

8" > 0 9± = ±(") > 0 j j'k(t) ¡ xk(t)j < "; k = 1 : : n 8t ¸ t0

для любого решения xk(t); k = 1 : : n системы (1), такого, что j'k(t0) ¡ xk(t0)j < ±; k = 1 : : n.

1 : : n, то это решение называется асимптотически устойчивым.

Пример. x0 = kx; x(t0) = x0. Решение x(t) = x0ek(t¡t0) устойчиво при k · 0, асимптотически устойчиво при k < 0 и неустойчиво при k > 0.

После замены искомой функции исследование на устойчивость некоторого решения системы (1) всегда можно свести к исследованию на устойчивость нулевого решения новой системы.

Теорема 1. (Ляпунова об устойчивости) Если существует дифференцируемая функция v(x1; : : : ; xn), удовлетворяющая в окрестности начала координат условиям

1) v(x1; : : : ; xn) ¸ 0 и обращается в нуль в начале координат;

2) производная вдоль траектории dvdt · 0 8t ¸ t0, то тривиальное решение системы (1) устойчиво.

Доказательство. Пусть " > 0 некоторое число. Найдется такое число c > 0, что поверхность уровня v = c расположена внутри "-окрестности начала координат. Тогда найдется такое число ± > 0, ÷òî ±-окрестность начала координат расположена внутри области, ограниченной поверхностью уровня v = c.

Функция v(x1; : : : ; xn) вдоль траектории не возрастает. Следовательно, если v[x(t0)] < c, то траектория v[x(t)] не выходит за пределы поверхности уровня, а тогда и за пределы "-окрестности

начала координат. ²

Функция v(x1; : : : ; xn) называется функцией Ляпунова. Пример 1. x01 = ¡x1x42; x02 = x41x2; здесь

Теорема 2. (Ляпунова об асимптотической устойчивости) Если существует функция

v(x1; : : : ; xn), удовлетворяющая в окрестности начала координат условиям теоремы 1 и, кроме

того, условию

3) вне сколь угодно малой окрестности начала координат dvdt · ¡¯ < 0 8t ¸ t1 > t0, то тривиальное решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Из теоремы 1 следует, что любая траектория, начальная точка которой лежит в

±-окрестности начала координат, не выходит за пределы "-окрестности начала координат. Функция

Тогда при t > t0 траектория расположена в области v ¸ ®, т. е. вне некоторой окрестности начала координат. Интегрируем неравенство из условия 3) от t1 äî t : v(t) ¡ v(t1) · ¡¯(t ¡ t1). Отсюда

Теорема 3. (Четаева о неустойчивости) Если существует дифференцируемая функция v(x1; : : : ; xn), удовлетворяющая в некоторой окрестности начала координат условиям:

1) в сколь угодно малой окрестности начала координат существует область, в которой v > 0 и на границе этой области v = 0;

2) dvdt ¸ ¯ > 0 в области, где v ¸ ® > 0,

то тривиальное решение системы (1) неустойчиво.

Доказательство. Пусть начальная точка траектории x(t0) принадлежит сколь угодно малой

окрестности начала координат, v[x(t0)] = ® > 0. По условию 2) функция v вдоль траектории не убывает.

26

Предположим, что траектория не выходит за пределы окрестности начала координат. Интегрируем неравенство из условия 2) : v(t) ¡ v(t0) ¸ ¯(t ¡ t0). Ïðè t ! +1 получим, что функция v(t)

неограниченно возрастает. Противоречие. ²

Пример 3. x01 = x51 + x32; x02 = x31 + x52; здесь v = x41 ¡ x42.

Первым интегралом системы (2) называется функция '(x1; : : : ; xn), принимающая постоянные значения на траекториях системы. Если '(x1; : : : ; xn) = c решение системы (2), то функция '(x1; : : : ; xn) первый интеграл.

Теорема 1. Функция u = Ã(x1; : : : ; xn) является решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда она является первым интегралом системы (2).

Доказательство. Запишем решение системы (2) в параметрической форме xj = xj(t) и вычислим

производную функции Ã(t) = Ã(x1(t); : : : ; xn(t)) по параметру t (производную первого интеграла вдоль траектории). Ее выражение совпадает с левой частью уравнения (1). Если производная равна нулю, то функция постоянна, и наоборот. ²

Первые интегралы 'j(x1; : : : ; xn); j = 1::n ¡ 1 называются независимыми, если якобиан

D('1; : : : ; 'n¡1) 6= 0. D(x1; : : : ; xn¡1)

Теорема 2. Åñëè 'j(x1; : : : ; xn); j = 1::n ¡ 1 независимые первые интегралы системы (2),

то любое решение уравнения (1) u = F ('1; : : : ; 'n¡1), ãäå F (y1; : : : ; yn¡1) некоторая дифференцируемая функция.

15.2. Квазилинейные уравнения с частными производными 1-го порядка

уравнение (3). Получим линейное уравнение для новой искомой функции v. Для этого уравнения соответствующая система в симметрической форме

27

16. Основы вариационного исчисления

Пусть h = h(x) непрерывно дифференцируемая функция. Вариацией функционала F ïî íà-

правлению h называется ±F [y; h] = lim d F [y + ¸h]. Будем рассматривать такие функции h(x), ÷òî

¸!0 d¸

h(a) = h(b) = 0.

Лемма 1. Если функция y0(x) доставляет локальный экстремум функционалу F [y] и существует вариация ±F [y0; h], òî ±F [y0; h] = 0 8h.

Доказательство. Рассмотрим функцию G(¸) = F [y0 + ¸h]. Åñëè y0 точка экстремума функци-

Лемма 2. Åñëè g(x) непрерывная функция и g(x)h(x) dx = 0 при любой непрерывно диф-

a

8 2

Доказательство. От противного. Предположим, что g(x0) =6 0. Построим такую функцию h(x), что интеграл от g(x)h(x) будет строго положительным. ²

Теорема. Åñëè y(x) решение простейшей задачи ВИ, то эта функция решение уравнения

@f d @f

Эйлера @y ¡ dx @y0 = 0.

Доказательство. Вычислим вариацию функционала в простейшей задаче и приравняем ее нулю. Преобразуем слагаемое с производной функции h(x) по формуле интегрирования по частям.

Применим лемму 2. ²

Получили, что решение простейшей задачи ВИ является решением краевой задачи для ДУ 2-го порядка.

Задача. Найти лиíèþ íàèìеньшей длины, соединяющую две заданные точки. Имеем простей- шую задачу ВИ Rab p1 + [y0(x)]2 dx ! min, y(a) = A, y(b) = B.

Ýòî ïîêà âñå :-( PNB

28