Глава 4 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

§4.1 Непрерывные функции. Основные свойства функций, непрерывных в точке.

§4.2 Точки разрыва.

§4.3 Свойства функций, непрерывных на отрезке.

§4.4 Равномерная непрерывность. Продолжение по непрерывности.

§4.5 Непрерывность обратной функции.

§4.6 Показательная функция. Логарифмическая, степенная, гиперболические функции.

§ 4.1 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ

x!a Мы имеем два эквивалентных определения предела, поэтому данное определение можно развернуть двумя

(jf(x) f(a)j < ").

говорят, что она разрывна в точке a. В случае, когда функция определена на U(a), разрывность в точке a можно определить на языке ("; ) следующим образом: 9 " > 0 8 > 0 9

x 2 (a ; a + ) (jf(x) f(a)j ").

48

Иллюстрации:

("непрерывность" понимается в интуитивном смысле – кривую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги). Пусть эта кривая является графиком некоторой функции f(x). Тогда

8" > 0 9 > 0 8x 2 (a ; a + ) (jf(x) f(a)j < ")

(все это видно на рисунке) и, следовательно, математическое определение непрерывности функции отвечает интуитивному понятию непрерывности кривой.

На рис. 2 изображена разрывная кривая, состоящая из двух кусков. Разрыв имеет место в точке a. На рисунке видно, что существует "0 > 0 такое, что для любых > 0 существует

x 2 (a ; a + ) такое, что jf(x) f(a)j "0. Таким образом, разрывному графику соответствует разрывная функция.

Примеры.

1.f(x) = C; x 2 R; C – постоянная, – непрерывна в каждой точке x 2 R.

2.f(x) = x; x 2 R, – непрерывна в каждой точке x 2 R. Определение 2. Функция называется непрерывной, если

она непрерывна в каждой точке своей области определения.

x Примеры. Тригонометрические функции cos x(x 2 R);

sin x(x 2 R); tg x(x 2 R; x 6= 2 + k ; k 2 Z); ctg x(x 2 R; x 6= k ; k 2 Z) являются непрерывными функциями.

Справедливость утверждения следует из утверждений:

49

x!a

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ

Теорема 1. Если функция f непрерывна в точке, то она

ограничена в некоторой окрестности этой точки. Доказательство. Так как f непрерывна в точке a, то, по

определению, lim f(x) = f(a). Следовательно, по свойству

x!a

предела функции, функция f будет ограничена в некоторой U(a), причем точка a не выбрасывается из U(a), так как f определена в точке a.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке a и f(a) 6= 0, то существует окрестность U(a), на которой jf(x)j >

> jf(2a)j. Больше того, если f(a) > 0, то f(x) > f(2a); x 2 U(a), а если f(a) < 0, то f(x) < f(a); x 2 U(a). Справедливость

утверждения теоремы следует 2из теоремы 2 (см. "Свойство пределов функций" ), так как непрерывность f(x) в точке a означает, что lim f(x) = f(a).

и g непрерывны в точке a, тогда в точке a непрерывны также функции: f(x) g(x); f(x) g(x); f(x)=g(x), если g(x) 6= 0.

Доказательство. Справедливость утверждения теоремы следует из теоремы 3 (см. "Свойство пределов функций" ).

= f(a) g(a). Таким образом, функция f(x) g(x) непрерывна в точке a.

50

Теорема 4 (непрерывность суперпозиций функций). Если

функция '(x) непрерывна в точке a и функция f(y) непрерывна в точке b = '(a), то функция F (x) = f('(x)) – непрерывна в точке a.

Доказательство. Зададим " > 0. Вследствие непрерыв-

ности функции f в точке b существует 1 > 0 такое, что f(y) будет определена на интервале ( 1; + 1) и выполняется неравенство:

jf(y) f(b)j < "; если jy bj < 1:

А вследствие непрерывности функции ' в точке a существует2 > 0 такое, что '(x) определена на интервале (a 2; a + 2) и

x, удовлетворяющих неравенству (1), функция f('(x)) определена и справедливо неравенство jf('(x)) f('(a))j<"

или jF (x) F (a)j<": x

§ 4.2 ТОЧКИ РАЗРЫВА

Определение 1. Если функция f не является непрерывной в точке a, но существует lim f(x), то говорят, что f имеет

x!a

устранимый разрыв в точке a. Иллюстрации:

В обоих случаях lim f(x) существует, но f разрывна в a,

x!a

так как (см. рис. 1) f – не определена в a и (см. рис. 2) f(a) 6=

51

= lim f(x). Разрывы функций в точке a легко устраняются. В

x!a

1 случае f нужно доопределить в точке a, а во 2 случае f нужно видоизменить, положив f(a) = lim f(x) = .

Следует заметить, чтоx!aразрывы могут быть и

Определение 2. Если функция f непрерывна в любой точке

достаточно малой окрестности и не ограничена в , то

U(a) U(a)

говорят, что f имеет бесконечный разрыв в точке a.

Пример. f(x) = tg x имеет бесконечный разрыв в точках

xk = 2 + k ; k 2 Z.

Введем понятие непрерывности функции в точке справа и

f(a + 0) = f(a) (соответственно, если существует f(a 0) и

f(a 0) = f(a)).

Замечание. Если f непрерывна как справа, так и слева в точке a, то она непрерывна в точке a.

Доказательство. Ранее было доказано: lim f(x) существует

точкой разрыва 1-го рода для функции f, если пределы f(a+0)

и f(a 0) существуют (конечны) и хотя бы один из них отличен от f(a) или функция f не определена в точке a.

Примеры графиков функций, имеющих разрыв 1-го рода в точке a.

52

исключая, может быть, саму точку a, и имеет разрыв в a, не являющийся разрывом 1-го рода, то говорят, что она имеет в a разрыв 2-го рода.

Пример.

имеет в точке 0 разрыв 2-го рода, потому что хотя и имеет смысл f(0 0)=0, но не имеет смысла f(0 + 0) (см. пример неустранимого разрыва).

53