Глава 3 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

§3.1 Предел функции. Свойства пределов функции. Первый замечательный предел.

§3.2 Критерий Коши существования предела функции.

§3.3 Модификация понятия предела функции в точке.

§3.4 Второй замечательный предел.

§3.5 Порядок функции. Эквивалентность. Асимптотика.

§3.1 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Пусть f – некоторая числовая функция, определенная на множестве E.

Определений 1. Число называется пределом функции f в точке a, если:

x!a

Подчеркнем, что понятие предела функции в точке a вводится только для предельных точек a области определения функции. Отметим, что при этом функция может быть и не определена в точке a, т. е., вообще говоря, a 2= E.

Замечание 1. Условие 1 в определении предела функции в точке можно заменить следующим: функция определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a. Тогда мы получим определение, подпадающее под определение 1.

Замечание 2. Число = lim f(x) ничего не говорит о

x!a

значении f в точке a. Функция f(x) может быть и не определена в точке a. Утверждение lim f(x) = говорит о том, что если

x!a

37

x приближается к a, по любому закону оставаясь не равным a, то соответствующее значение f, в свою очередь, приближается к , т. е. делается сколь угодно близким к .

Определение 2. Число называется пределом функции f в точке , если:

1. – предельная точка множества E.

2. 8" > 0 9 > 0 8x 2 E x 2 (a ; a + ); x 6= a

(jf(x) j < "). ( )

Замечание. Определения 1 и 2 эквивалентны. Доказательство. Эквивалентность определений будет

доказана, если мы докажем эквивалентность условий ( ) и ( ). Доказательство будем вести от противного. Пусть справедливо ( ), но при этом не выполняется ( ). Это значит, что существует хотя бы одно " > 0 (обозначим его "0), такое, что для любого > 0 существует x 2 (a ; a + ) TE; x 6= a, для которого jf(x) j "0. Возьмем в качестве все числа вида = 1=k; k = 1; 2; 3; : : : ; и для каждого из них найдем xk 2 E, для которого

0 < jxk aj < 1=k; xk 6= a; и

jf(xk) j "0; k = 1; 2; 3; : : :

Из этих соотношений видно, что существует последовательность (xk) такая, что xk ! a (xk 6= a), в то время как f(xk) заведомо не стремится к . Таким образом, допущение, что выполняется ( ), но не выполняется ( ), приводит к противоречию.

Докажем, что из условия ( ) следует условие ( ). Пусть

неравенство j sin xj jxj; x 2 R).

СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ

38

Теорема 1. Если f(x) определена в некоторой окрестности

точки a, за исключением, может быть, самой этой точки a и lim f(x) = , где – конечное число, то существует U(a) такая,

x!a

что ограничена в . f(x) U(a)

Доказательство. Так как lim f(x) = , то для " = 1

x!a

существует > 0 такое, что если 0 < jx aj < , то jf(x) j < 1. Таким образом, для некоторой проколотой окрестности точки

точки a, за исключением, может быть, самой этой точки a и lim f(x) = и 6= 0, то существует U(a) такая, что jf(x)j >

jf(x) j < j2j: ) j j jf(x)j j f(x)j < j2j: ) jf(x)j >

определены в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a. Тогда справедливы равенства:

x!a

в том смысле, что если определены правые части, то определены левые, и они равны.

39

lim f2(xn) = и по "Свойству двух милиционеров" для числовых последовательностей существет lim '(xn) = . В силу того, что (x ) является произвольной последовательностью, сходящейся

к n, утверждение теоремы доказано. x a

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

40