Глава 2 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§2.1 Предел числовой последовательности. Элементарные свойства пределов.

§2.2 Лемма о вложенных отрезках. Теорема Вейерштрасса.

§2.3 Монотонные ограниченные последовательности.

§2.4 Критерий Коши.

§2.5 Пределы в расширенной числовой прямой. Верхний и нижний пределы последовательности.

§ 2.1 ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение 1. Число a называется пределом числовой последовательности (xn), если для любого " > 0

найдется (зависящее от ") натуральное число N такое, что для всякого n > N выполняется неравенство: jxn aj < ". В этом случае пишут lim xn = a (или xn ! a) и говорят, что (xn) сходится (или стремится) к a.

Замечания:

1. xn ! a означает, что любая окрестность точки a является "ловушкой" последовательности, т. е. все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в наперед заданную окрестность точки a.

Доказательство. Пусть xn ! a. Возьмем произвольную

окрестность точки a:U(a)=(c; d). Выбираем " = min(a c; d a). Так как xn ! a, то для любого " > 0 (в частности и для нами выбранного) найдется номер N такой, что для всех n > N будет справедливо jxn aj < ", т. е. все члены последовательности, начиная с номера N + 1, будут принадлежать (a "; a + "),

который, в силу выбора ", принадлежит U(a).

2. Приведем запись определения lim xn = a в кванторах:

В частности, xn ! 0 означает, что 8 " > 0 9 N 2 N 8 n > N (jxnj < "). Отсюда следует: xn ! 0 тогда и только тогда, когда

jxnj ! 0.

25

3. Если xn ! a, то jxnj ! jaj.

Доказательство. Следует из неравенства jjxnj jajjjxn aj.

4.Если (xn) сходится, то она ограничена.

Доказательство. Положим " = 1 в определении предела

последовательности. Тогда 9 N 2 N; 8 n > N : jxn aj < 1.

Отсюда, т. к. j jxnj jaj j jxn aj, следует jxnj

M (n 2 N), где M = maxfjaj + 1; jx1j; : : : ; jxnjg, т. е. (xn)

– ограничена.

5.Арифметические свойства:

а) lim(xn yn) = lim xn lim yn, б) lim(xn yn) = lim xn lim yn,

в) lim(xn n yn) = lim xn n lim yn, (lim yn 6= 0).

В том смысле, что если определены правые части равенств, то определены и левые, и они равны.

N : j(xn + yn) (a + b)j jxn aj + jyn bj < ", т. е.

(xn + yn) ! a + b;

б) справедливы неравенства: jxnyn abj jxnyn aynj +

+jayn abj jynjjxn aj+jajjyn bj. Так как xn ! a; yn ! b; jynj M (в силу свойства 4), то всегда можно выбрать N 2

N такими, что для любых n > N : jynjjxn aj+jajjyn bj < ", где " > 0 – любое наперед заданное число;

в) пусть yn ! b 6= 0. Тогда 9 N 2 N; 8 n > N : j jynj jbj jjyn bj < j2bj. Отсюда следует: jynj > j2bj; 8 n > N. Далее,

yn ! b, то N можно выбрать таким, что jb2j2 jyn bj < " при

8 n > N. Таким образом, 1 ! 1. Отсюда и из свойства б)

yn b

nyn ! a1b = ab .

6.Если xn ! 0, а (yn) ограничена, т. е. существует число M > 0 такое, что jynj M (n 2 N), то xnyn ! 0.

27

Доказательство. Справедлива оценка 0 jxnynj Mjxnj.

§ 2.2 ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА

ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ

bn an ! 0, то эта точка будет единственной. Доказательство. Докажем сначала существование точки,

общей для всех In. Множество E = fa1; a2; : : : g левых концов отрезков ограничено сверху (например, числом b1), и, следовательно (см. "Свойство непрерывности действительных

1

чисел"), существует a = sup E. Точка a 2 T In : во-первых,

an ak bk при n < k

28

и, следовательно, a, будучи наименьшей мажорантой E, обладает свойством a bk (k = 1; 2; : : : ). Таким образом,

1

an a bn; n 2 N, т. е. a 2 T In.

n=1

Покажем, что an ! a, для чего достаточно применить "Свойство двух милиционеров" к неравенству 0 a an bn an (n 2 N). Так как, если предел существует, то он единственный (см. свойство 1), и поэтому a будет единственной точкой, принадлежащей всем In.

ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА

Бесконечное ограниченное множество E R обладает по крайней мере одной предельной точкой.

Доказательство. Множество E – ограничено. ) существует

bn an ! 0. По лемме о вложенных отрезках существует точка,

1

общая всем In (a 2 T In). Покажем, что a является искомой

n=1

точкой. Пусть U(a) – произвольная окрестность a. Тогда

Следствие. Каждая ограниченная последовательность

обладает сходящейся подпоследовательностью. Доказательство. По теореме Вейерштрасса ограниченная

последовательность (как бесконечное ограниченное множество) обладает предельной точкой a. ) любая окрестность a содержит бесконечное множество элементов последовательности (xn). ) Любая окрестность a должна быть "ловушкой" хотя бы одной подпоследовательности

(xnk ) ) xnk ! a.

29