"=(f(b) f(a)) (f(b) 6= f(a), так как в противном случае f = const).

Поэтому S S < ". Следовательно, f интегрируема на [a; b]. Теорема 1 не дает ответа на вопрос о классе функций,

интегрируемых по Риману. Отвечает на этот вопрос следующая теорема.

Теорема Лебега. Для того, чтобы функция f была

интегрируемой на отрезке [a; b], необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной на [a; b] и непрерывной всюду на [a; b], за исключением множества точек лебеговой меры нуль.

Доказательство этой теоремы слишком трудоемко, и мы его не приводим.

По определению, множество E имеет лебегову меру нуль, если при любом " > 0 существует покрывающая E счетная или конечная система интервалов, сумма длин которых меньше ". Например, конечное или счетное множество точек имеет лебегову меру нуль. В самом деле, пусть точки множества перенумерованы: x1; x2; : : :. Покроем каждую из них интервалом так, чтобы длина интервала, покрывающего точку xn, была меньше, чем " 2 n. Сумма длин этих интервалов будет меньше, чем ".

Заметим, что теорема 1 является частным случаем части достаточности теоремы Лебега. Отличие состоит в том, что в теореме Лебега допускается покрытие множества точек разрыва не только конечным набором интервалов, но и счетным.

§ 7.5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА

10: Пусть функции f и g интегрируемы на [a; b], тогда на [a; b] интегрируемы функции: f(x) g(x); f(x)g(x); f(x);

133

Из существования данных пределов следует существование предела

134

Пусть = (a = x0 < x1 < : : : < xn = b) – произвольное разбиение отрезка [a; b]. Введем обозначения:

Вследствие интегрируемости f и g (см. § 7.3) правые части (4) и

(5) при надлежащем разбиении можно сделать меньшими ", но тогда и левые части можно сделать меньшими ". ) Функции jfj и 1=g интегрируемы на [a; b].

Функции f и g интегрируемы на [a; b], поэтому существуют разбиения 1 и 2 отрезка [a; b] такие, что

135

суммой множества точек, из которых состоят 1 и 2 ( =

(a = x0 < x1 < : : : < xn = b)). Из свойства 20 нижних и верхних сумм (см. § 7.2) следует, что

S (f) S (f) < "; S (g) S (g) < ":

Взяв sup левой части неравенств (2) по i; i 2 [xi 1; xi], умножив полученные числа на (xi xi 1) и просуммировав по i, получим

Таким образом, можно указать такое разбиение , что левая часть (6) может быть сделана как угодно малой, что показывает: функция f(x) g(x) интегрируема на [a; b].

Нетрудно показать теперь интегрируемость частного функцией f(x)=g(x). Действительно, если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b] и jg(x)j d > 0, то, по доказанному выше, интегрируема на [a; b] функция 1=g(x), а следовательно,

функция f(x) g(1x) = f(x)=g(x) также интегрируема на [a; b]. Замечания:

1.Из интегрируемости jf(x)j не следует интегрируемость f(x). Например, рассмотрим функцию

136

jf(x)j – интегрируема на [a; b], так как jf(x)j 1 на [a; b], в то время, как f(x) не интегрируема на [a; b] (см. пример с функцией Дирихле из § 7.1).

2.Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b], а функция g(x) отличается от функции f(x) лишь в конечном

числе точек, то функция g(x) также интегрируема на

Доказательство. Пусть g(x) отлична от f(x) в точках xi 2 [a; b], i = 1; : : : ; n. Введем на [a; b] функцию

b

Функция '(x) интегрируема на [a; b] и R '(x)dx = 0 (см. пример

a

§ 7.1). Очевидно, что g(x) = f(x) + '(x). Из интегрируемости суммы интегрируемых функций следует интегрируемость g(x) на [a; b] и равенство

в том смысле, что если определена одна из его частей, то определена и другая и они равны.

Доказательство. Пусть функция f(x) интегрируема на

отрезках [a; c] и [c; b]. Тогда существуют разбиения 1 и 2 отрезков [a; c] и [c; b] соответственно такие, что

S 1 S 1 < "=2; S 2 S 2 < "=2:

137

Объединяя разбиения 1 и 2, мы получим разбиение отрезка [a; b], для которого

S S = S 1 + S 2 S 1 S 2 < ":

Следовательно, функция f(x) интегрируема на [a; b]. Допустим теперь, что f(x) интегрируема на [a; b]. Тогда для любого " > 0 существует разбиение отрезка [a; b] такое, что

Будем считать, что точка c является делящей точкой разбиения. В противном случае мы ее просто добавляем к точкам разбиения и получаем более частое разбиение отрезка [a; b], для которого тем более будет справедливо (7) (см. свойство

S 1 S 1 < "; S 2 S 2 < ":

Следовательно, согласно необходимому и достаточному условию интегрируемости функций (см. § 7.3), функция f будет

интегрируема на [a; c] и [c; b]. Пусть k = k(a = x(0k) < x(1k) <

: : : < x(nk) = b) – последовательность разбиений отрезка [a; b] такая, что d( k) ! 0. Точку c будем включать при любом k в число делящих точек разбиения k (этого можно всегда легко добиться). Тогда интегральная сумма функции f(x) на [a; b] будет равна сумме интегральных сумм функции f(x) на отрезках [a; c] и [c; b]:

S k (f) = S 1k (f) + S 2k (f):

Переходя к пределу при d( k) ! 0, мы получим равенство ( ). Замечание. Полезно расширить определение интеграла

Римана по отрезку на случай, когда a > b и a = b. По определению полагаем:

a

138