§ 7.3 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ

Теорма. Для того, чтобы ограниченная на [a; b] функция

f(x) была интегрируемой на [a; b], необходимо и достаточно, чтобы для любой " > 0 существовало разбиение отрезка [a; b], для которого

S S ":

8 = (a = x0 < x1 < : : : < xn = b):

n

при любых i 2 [xi 1; xi] (1) (здесь S ( i) = P f( i)(xi xi 1) ).

i=1

Зафиксируем одно разбиение, для которого справедливо (1). По

свойству 10 для данного разбиения можно указать такие две точки i0 и i00 на каждом частичном отрезке [xi 1; xi], что

Отсюда и из неравенств (1), (2) вытекает, что

S S < ":

Достаточность. Для любого разбиения справедливы

неравенства S I I S , и для 8" > 0, согласно условию

129

теоремы, 9 разбиение такое, что S S ". Поэтому

0 I I ". В силу произвольности " имеем I = I. Обозначим

b

I = I = I. Докажем, что I = R f(x)dx. По лемме Дарбу имеем

Поэтому для 8" > 0 9 > 0 такое, что при d( ) <

справедливы неравенства I S < "=2; S I < "=2, т. е. при

d( ) < ; S S < ", причем

Для любого разбиения справедливы неравенства S

S ( i) S , при любых i 2 [xi 1; xi]. Поэтому из (3) следует, что 8" > 0 9 > 0 такое, что при d( ) < (j S ( i) Ij < ") при 8 i 2 [xi 1; xi]. Согласно определению 2 (интегрируемой

b

функции) это означает, что I = R f(x)dx.

a

§ 7.4 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Теорема 1. Если функция f(x) определена и ограничена

на [a; b] и если для любого " > 0 существует конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин меньше ", то f(x) интегрируема на [a; b].

Доказательство. Напомним старые и введем новые

130

(здесь [xi 1; xi] – частичные множества некоторого разбиения отрезка [a; b]), !i = Mi mi – колебание функции f(x) на [xi 1; xi]. Пусть – множество точек разрыва функции f(x) и пусть дано " > 0. Покроем конечным числом интервалов ( i; i); i = 1; : : : ; l, имеющих общую сумму

l

(покрытие интервалами ( i; i) означает S( i; i). Будем

i=1

считать, что интервалы ( i; i) попарно не пересекаются. Итак,

отрезка [a; b]. Для этого разбиения слагаемые суммы S S =

P!k(xk xk 1) разделим на две группы – P0!k(xk xk 1) и

k k

P00!k(xk xk 1), причем в первую группу входят все слагаемые,

k

отвечающие частям разбиения , образованным из интервалов

131

xk 1) 2("(bb aa)) = 2". Таким образом,

Следовательно, для функции f(x) выполнены достаточные

условия интегрируемости. Замечание 1. Ограниченная на [a; b] функция f(x),

имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема на [a; b]. Действительно, если p – число точек разрыва функции f(x), то достаточно покрыть каждую точку разрыва интервалом длины "=2, где " > 0, и мы получим, что все точки разрыва функции f(x) покрываются конечным числом интервалов, суммарная длина которых меньше ". Возникает вопрос. Существуют ли интегрируемые функции, имеющие бесконечное число точек разрыва? Оказывается, что такие функции есть. Например, функция f(x), определенная на [0; 1]

функции f(x). Каждую из точек, находящуюся вне интервала4"; 4" , покроем интервалом длины меньше 2"p. Сумма длин

интервалов, покрывающих все точки разрыва функции f(x), будет меньше 2" + p 2"p = ". Следовательно, функция f(x)

интегрируема на [0; 1]. Замечание 2. Любая непрерывная функция f : [a; b] ! R

интегрируема на [a; b].

Утверждение данного замечания является очевидным следствием замечания 1.

Докажем теорему об интегрируемости монотонных функций, заданных на [a; b] (функция называется монотонной на [a; b], если она не убывает или не возрастает на [a; b]).

Теорема 2. Монотонная на отрезке [a; b] функция f(x) интегрируема на [a; b].

132