1.4. Показатели качества уравнения парной регрессии

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции , который рассчитывается по следующей формуле:

(1.6)

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: . Чем ближе абсолютное значениек единице, тем сильнее линейная связь между факторами (приимеем строгую функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака,объясняемую уравнением регрессии, в общей дисперсии результативного признака:

(1.7)

где , .

Соответственно величина характеризует долю дисперсии , вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.

После того как оценено уравнение линейной регрессии, проводится проверка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

. (1.8)

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе -критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значенияраскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:

,

где – общая сумма квадратов отклонений; – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений); – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1.1 (– число наблюдений,– число параметров при переменной).

Таблица 1.1

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы
Общая
Факторная
Остаточная

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину -критерия Фишера:

. (1.9)

Расчетное значение – критерия Фишера (1.9) сравнивается с табличным значением при уровне значимости α (зафиксированное значение ошибки I рода, состоящей в том, чтобы на основании данных выборочного исследования принять альтернативную гипотезу) и степенях свободыи. При этом, если фактическое значение– критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для парной линейной регрессии , поэтому

. (1.10)

Величина -критерия связана с коэффициентом детерминации, и ее можно рассчитать по следующей формуле:

. (1.11)

Оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: S­_b0, S_b1.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

= , (1.12)

где – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение -критерия Стьюдента: , которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимостии числе степеней свободы. Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как.Поскольку знак коэффициента регрессии указывает или на рост результативного признака при увеличении признака-фактора(), или на уменьшение результативного признака при увеличении признака-фактора (), или его независимость от объясняющей переменной () (рис. 1.3), то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например,. Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.

Рис. 1.3. Наклон линии регрессии в зависимости от значения параметра b₁

Стандартная ошибка параметра определяется по формуле:

= . (1.13)

Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии. Вычисляется -критерий:, его величина сравнивается с табличным значением пристепенях свободы.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции S_r:

. (1.14)

Фактическое значение – критерия Стьюдента определяется как .

Существует связь между – критерием Стьюдента и -критерием Фишера:

. (1.15)

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогнозпри, т.е. путем подстановки в уравнение регрессиисоответствующего значения. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки, т.е., и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения:

,

где – средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения:

. (1.16)

Доверительный интервал для условного математического ожидания рассчитывается по формуле:

,

где средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения определяется следующим образом:

.