3. Определение двойного интеграла

Пусть на замкнутой квадрируемой области P задана функция z=f(x;y). Построим разбиение T области P сетью кривых на n частичных квадрируемых областей P₁, P₂,…,P_n. Площади их также обозначим P₁, P₂,…,P_n. В каждой из частей P_k произвольно выберем точку и вычислим значение функции в ней. Составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции f(x;y) на области Р, соответствующей разбиению T и выбору точек . Пусть _k - диаметр области Р_k, .

Определение 1. Число I называется пределом интегральной суммы S(T) , если для любого разбиения Т области P, такого, что и при любом выборе точек Р_k выполнено .

Определение 2. Если существует конечный предел интегральной суммы S(T) при , не зависящий ни от способа разбиения T, ни от выбора точек , то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области P и обозначается или ,

где dP - элемент площади.

Итак, .

Функция f(x;y) в этом случае называется интегрируемой на области P.

4. Геометрический смысл двойного интеграла

1) Рассматривая задачу об объёме цилиндрического бруса, мы установили что . Мы предполагали, что f-непрерывная функция. Так как справа мы имеем предел интегральной суммы S(T) для непрерывной функции, то он существует и равен двойному интегралу от этой функции по области P. Значит, .

Двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции геометрически выражает объем цилиндрического бруса.

2) Если положить f(x;y)=1 всюду в области P, то

,

- площадь плоской фигуры равна двойному интегралу от 1 по этой области.

5. Ограниченность интегрируемой функции

Теорема 1. Если функция z= f(x;y) интегрируема на области Р, то она ограничена на ней.

Доказательство.

Допустим, что функция не ограничена на области Р. Тогда при любом разбиении области на части функция будет не ограничена хотя бы в одной из её частей. Тогда, выбирая точку произвольно, мы можем сделать сколь угодно большим. Значит, и интегральная сумма S(T) будет сколь угодно большой по абсолютной величине. Следовательно, S(T) не будет иметь конечного предела, и поэтому функция f(x;y) не будет интегрируемой.

Замечание. Обратное утверждение неверно.

§2. Условия существования двойного интеграла

1. Нижняя и верхняя суммы Дарбу

Как и в одномерном случае, при изучении двойного интеграла существенную роль играют суммы Дарбу.

Пусть функция z= f(x;y) ограничена на области Р. Пусть Т – произвольное разбиение области Р на части P_k , . Тогда f(x;y) будет ограничена на всех P_k. Следовательно, существуют нижние и верхние грани функции f на P_k. Обозначим , .

(x;y)P_k справедливо неравенство , . Cоставим суммы

- нижняя, - верхняя суммы Дарбу.

и зависят только от разбиения Т (не зависят от выбора точек , как S(T)).

Свойства сумм Дарбу

1) Для любого фиксированного разбиения Т справедливо

.

2) , .

3) Если к линиям разбиения добавить новую линию, то получим разбиение T₁, которое называется продолжением разбиения T. От этого нижняя сумма может только возрасти, а верхняя - уменьшиться.

.

4) Для любых разбиений Т₁ и Т₂ справедливо .

(Доказательство свойств 1)–4) аналогично доказательствам тех же свойств сумм Дарбу для случая одной переменной, только вместо точек деления надо брать линии).

5) Рассмотрим два числовых множества . Множество ограничено сверху любым числом из множества (по свойству4), тогда . Значит, выполнено . Из последнего неравенства следует, что множество ограничено снизу, – нижняя граница. Следовательно, и выполнено ( - наибольшая нижняя граница ). Очевидно, . Тогда выполнено .