1. Интерполирование функции. Общие понятия

На практике часто встречаются функции f(x), заданными для некоторого конечного множества значений аргументаxна отрезке [a,b],x₀=a,x_m=bтаблицами их значений:x= x₀,x₁,x₂, …,x_m, f(x) =y₀,y₁,y₂, …,y_m

Здесь y₀=f(x₀),y₁=f(x₁), …,y_m=f(x_m).

Такая таблица может быть получена, например, в результате измерения некоторой величины в определенные моменты времени.

В процессе расчетов иногда необходимымы значения f(x) для промежуточных значений аргумента, которых нет в таблице. В этом случае функциюf(x) заменяют приближенной функцией, например, строят функцию φ(x), которая в заданных точкахx₀,x₁, …,x_m принимает значенияy₀,y₁, …,y_m, а в остальных точках отрезка [a,b] приближенно представляет функциюf(x) с той или иной степенью точности. В расчетах функция φ(x) заменяет функциюf(x).

Задача построения такой функции φ(x) и оценки ее близости к функцииf(x) называется задачейинтерполирования. Функция φ(x) называетсяинтерполирующей функцией.

Интерполирование применяется и в том случае, когда известно аналитическое представление функции f(x), но вычисление каждого значения является трудно вычисляемым.

Итак, построение интерполирующей функции при заданных значениях y₀,y₁,y₂, …,y_mфункцииf(x) в точкахx₀,x₁,x₂, …,x_mотрезка [a,b] означает определение такой функцииφ(x), чтоφ(x)f(x) приx[a,b]φ(x_i) =f(x_i) =y_i, приx_i[a,b],i = 0, 1, …,m

Точки называютсяузлами интерполяции. А их совокупность –интерполяционной сеткой.

Для построения интерполирующей функции используют определенные системы линейно-независимых функций, находящихся на этом отрезке: φ_i(x),i = 0, 1, 2, …, записывая функциюφ(x) в виде линейной комбинации, гдеa₀,a₁,a₂, …,a_n– числа.

Определенные на отрезке [a,b] функцииφ_i(x),i = 0, 1, 2, …,n, называются линейно-зависимыми, если существуют постоянныеa₀,a₁,a₂, …,a_n, не равные нулю одновременно и такие, чтодля всехx[a,b]. В противном случае функцииφ_i(x),i = 0, 1, 2, …,n, называются линейно независимыми.

Определенные на отрезке [a,b] функцииφ_i(x),i = 0, 1, 2, …,n, являются на отрезке [a,b] линейно зависимыми тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других.

Примерами таких систем определенных и линейно-независимых на отрезке [a,b] функций являются:

1) последовательность степеней x: 1,x, x²,x³, …;

2) последовательность тригонометрических функций: 1, sinx,cosx,sin2x,cos2x, …;

3) последовательность показательных функций: 1, ,, …, где {α_i} – некоторая числовая последовательность, и т.д.

В случае построения интерполирующей функции с помощью определенной системы линейно-независимых функций φ_i(x),i = 0, 1, 2, … задача интерполирования заключается в определении констант, удов - их равенствам. (1)

и оценке близости между функциями f и φ.

Таким образом, для определения коэффициентов a_iимеем систему изm+1 уравнений сn+1 неизвестными. Матрица этой системы имеет вид:

Для того, чтобы система линейных уравнений имела решение при любой правой части, достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен m+1. При этомn≥m. Решение будет однозначным приn=m.

Будем предполагать, что n =mи определитель системы (1) отличен от нуля. Тогда при любыхf(x_j) система (1) будет иметь единственное решение.

2. Интерполирование при помощи алгебраических полиномов.

Интерполяция алгебраическими многочленами функцииf(x)наотрезке[a, b]— построениемногочленаP_n(x)степени меньшей или равнойn, принимающего в узлах интерполяции x₀, x₁, ...,x_n значения f(x_i):

Система уравнений, определяющихкоэффициентытакого многочлена, имеет вид

Её определителемявляетсяопределитель Вандермонда

Он отличен от нуляпри всяких попарно различных значенияхx_i, и интерполирование функцииfпо её значениям в узлахx_iс помощью многочленаP_n(x)всегда возможно и единственно.

3. Интерполяционный полином Лагранжа.

Полином Лагранжа имеет вид,

где ,i = 0, 1, …,n.

Имеем

, i k,

, i = 0, 1, …,n.

Поэтому L_n(x_i) =l_i (x_i).

Коэффициент c_iнаходятся из равенстваL_n(x_i) =y_i.

Из этого равенства следует .

С учетом этого имеем: .

Чтобы записать полином L_n(x) в более компактном виде, вводится обозначение.

Тогда (3)

4. Интерполяционный полином Ньютона.

Полином Ньютона имеет вид:

Коэффициенты находятся из равенствP_n(x_i) =y_i=f(x_i):

a₀=y₀,

= ,в числителе исправитьfнаy.

….

=

….

Здесь разделенная разность k-го порядка.

С учетом этого можно записать ,

В случае равноотстоящих узлов интерполяции, т.е. когда , имеем

(8)

где

конечная разность 1-го порядка.

= = 2-го порядка,

=  =  3-го

…

конечная разность k-го порядка, k=2, 3, ...

Или

5. Оценка остаточного члена интерполяционного полинома.

Погрешность интерполяционного полинома определяется выражением.

В узлах интерполяции . В остальных точках.

Для получения формулы оценки погрешности предположим, что функция являетсяn+1 раз непрерывно дифференцируемой, и рассмотрим функцию(5)

Эта функция принимает в n+1 узлах интерполяцииx_iнулевые значения (u(x_i) = 0, т.к.P_n(x_i) =f(x_i),_n(x_i) = 0). Подберем коэффициентkтак, чтобы в некой точкефункцияu(x) также принимала нулевое значение:.(6)

Предположим, что . Тогда функцияпринимает нулевые значения на концах каждого из (n+1) интервала [], [],…,[],[],…,[]. Тогда согласно теореме (если непрерывно дифференцируемая функция на концах отрезка принимает одинаковые значения, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка, в которой производная равна нулю) первая производнаяимеет по крайней мереn+1 нулевое значение, вторая производнаяимеет по крайней мереnи, наконец, (n+1)-я производнаяимеет по крайней мере одно. Пусть. Продифференцируем выражение (5) (n+1) раз:

Подставив , получим

Отсюда (7)

Приравнивая правые части равенств (6) и (7), получим .

Учитывая, что произвольная точка из [a,b], то можно записать.

Введя обозначение , получим окончательно.

6. Численное интегрирование

Численное интегрирование является одним из методов вычисления определенного интеграла .

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразнаяf(x), то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница(1)

Однако зачастую первообразная f(x) неизвестна или является слишком сложной. В таких случаях, а также тогда, когда подынтегральная функцияf(x) задана таблично, и применяют численные методы.

Вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, а двойного –механической кубатурой. Соответствующие формулы называютсяквадратурными и кубатурными.

Обычный прием механической квадратуры заключается в том, что заданную таблично функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [a,b] заменяют интерполирующей или другой аппроксимирующей функцией φ(x) простого вида (например, полиномом), а затем, с учетом того, чтоf(x) φ(x), приближенно полагают

. (2)

Обычно φ(x) такова, что интеграл в правой части (2) вычисляется непосредственно по формуле (1).