7.3 Реализация алгоритма оценки временного положения сигнала

Рассмотрим вопрос о построении устройства обработки принятых сигналов (приёмника) для случая одиночного сигнала. Логарифм функционала отношения правдоподобия пропорционален величине

(7.17)

и зависит от функции , называемой также функцией взаимной корреляции между принятым сигналоми опорным. Такое устройство соответственно называюткорреляционным приемником.

Максимум функции приводит к максимуму функционала отношения правдоподобия, то есть приёмник основан на критерии максимума функционала правдоподобия.

Рассмотрим две возможные реализации такого приёмника.

7.3.1 Корреляционный приёмник

Сигнал содержит истинное значение параметра. Можно, изменяя величинудискретно (или непрерывно), интегрировать произведение сигналас задержанным опорным сигналом. На рисунке 7.4 представлена блок-схема корреляционного приёмника. Весь интервал наблюденияразбивается на отрезки с шагом. Опорный сигнал последовательно задерживается на величину, подается на перемножающее устройство и затем интегрируется. Решение о величине задержки принимается по наибольшему значению выходного сигнала одного из интеграторов. Так как задержкарегулируемая, то известен номер интегратора, с которого снимается наибольшее значение корреляционного интегралаи в качестве оценки временного положения сигнала принимается. Погрешность в определенииравна.

7.3.2 Согласованный фильтр

Приемник, оценивающий время задержки сигнала, можно реализовать при помощи устройства, импульсная характеристика, которого имеет специальную форму. Пусть задан сигнал .Согласованным фильтром будем называть устройство, имеющее импульсную характеристику вида.

, (7.18)

где — постоянная величина.

В качестве иллюстрации рассмотрим сигнал, (Рис. 7.5 а)

Приемник, оценивающий время задержки сигнала, можно реализовать при помощи устройства, импульсная характеристика, которого имеет специальную форму. Пусть задан сигнал .Согласованным фильтром будем называть устройство, имеющее импульсную характеристику вида.

, (7.18)

где— постоянная величина.

В качестве иллюстрации рассмотрим сигнал, (Рис. 7.5 а)

Зеркальное отображение этого сигнала представлено на рисунке 7.6б, . Сдвинем этот сигнал на величину, (Рис.7.5в), . Получили сигнал, являющийся зеркальным отображением исходного сигналаи задержанного на время. Если импульсная характеристика приемника пропорциональна сигналу, то такой приёмник называется согласованным фильтром.

Основные вопросы, возникающие при анализе согласованного фильтра:

1)определение частотной и фазовой характеристики согласованного фильтра,

2) физика работы согласованного фильтра,

3) отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра

4) оптимальность согласованного фильтра

Частотная характеристика согласованного фильтра имеет вид

(7.19)

Но частотная характеристика линейного устройства может быть представлена как

. (7.20)

Из сравнения выражений (7.19) и (7.20) следует

, . (7.21)

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра совпадает по форме с АЧХ сигнала, а фазо-частотная характеристика (ФЧХ) должна иметь противоположный знак по отношению к фазово-частотной характеристикесигнала, в то же время все составляющие задержаны на величину.

Как видно из выражения (7.21), АЧХ согласованного фильтра пропорциональна АЧХ сигнала. Поэтому согласованный фильтр называют фильтром согласованным по полосе частот с сигналом.

Выходной сигнал фильтра имеет вид

(7.22)

Из этого выражения видно, что фазо-частотная характеристика согласованного фильтра компенсирует взаимные фазовые сдвиги составляющих входного сигнала . В момент временисигнал на выходе согласованного фильтра достигает максимальное значение. Это получается за счёт того, что все составляющие входного сигнала задерживаются пропорционально их частоте на уголи к моменту времениони все находятся в фазе и, складываясь, дают максимальный вклад в выходной сигнал. Приилифазовые соотношения нарушаются и абсолютное значение выходного сигнала уменьшается.

Шум, который поступает на фильтр, также усиливается на частотах, которые лежат в области спектра сигнала. Для шума необходимо рассмотреть его дисперсию (мощность) на выходе:

,

.

Если шум – белый, то ,

.

Для согласованного фильтра имеем

,

.

Отсюда отношение сигнал/шум на выходе фильтра будет

.

Среди всех линейных фильтров, согласованный фильтр даёт наибольшее отношение сигнал/шум. Для произвольного фильтра имеем

≤

Знак равенства достигается только тогда, когда . Из приведённой выше импульсной характеристики видно, что АЧХ и ФЧХ согласованного фильтра определяются видом сигнала, то есть его АЧХ и ФЧХ. В результате этого расчёта возникают два вопроса: можно ли физически реализовать согласованный фильтр и можно ли выполнить это технически?

Ограничения в первом случае накладываются принципом физической реализуемости во временной и частотной области, т.е. должны выполняться условия

или

Техническая реализация зависит от уровня развития технологии производства. В настоящее время существуют согласованные фильтры, реализованные на ультразвуковых линиях задержки.

Пример 7.1 Согласованный фильтр применяется часто для оценки фазы и частоты сигнала. Произведем оценку нижней границы дисперсии фазы и частоты по неравенству Рао-Крамера. Для оценки нижней границы дисперсии используем формулу (6.15)

, (П 7.1)

где .

Ввиду того, что время интегрирования значительно больше постоянной времени интегрирующей цепи, оценки фазы и частоты будут состоятельными и несмещёнными, т. е.. Вычислим вторую производную по параметру от сигнальной функции:

=

=.

Учитывая, что выражениями ипри большом времени интегрирования можно пренебречь, получим

.

Размерность величин, входящих в формулу – . Таким образом, вторая производная от сигнальной функции приимеет значениеи размерность. Подставив полученные выражения в неравенство (П 7.1), получим нижнюю границу дисперсии оценки фазы

[рад²].

Проделав те же операции по оценке нижней границы дисперсии частоты, что и при оценке фазы, получим вторую производную по параметру от сигнальной функции в точке, равную

=

= .

Используя это приближение, получим оценку нижней границы дисперсии частоты, равную

, .

Из сравнения нижних границ оценок дисперсий фазы и частоты видно, что нижняя граница оценки дисперсии частоты убывает как , в то время для фазы – как. Это означает, что при равных условиях погрешность измерения частоты будет меньше, чем погрешность измерения фазы.