
- •1. Введение
- •2. Типы решаемых задач
- •3. Проверка статистических гипотез
- •4. Критерии качества и правила принятия решений
- •4.1. Проверка двухальтернативных гипотез
- •4.1.1. Критерий Байеса
- •4.1.2. Минимаксный критерий
- •4.1.3. Критерий максимума апостериорной вероятности
- •4.1.4. Критерий максимума правдоподобия
- •4.1.5. Критерий Неймана-Пирсона
- •4.1.6. Последовательный критерий отношения вероятностей (Последовательный анализ Вальда)
- •4.1.7. Различение сигналов
- •5. Обработка непрерывных сигналов
- •5.1 Функционал правдоподобия
- •5.2 Применение функционала отношения правдоподобия для обнаружения полностью известного сигнала
- •5.3 Применение функционала отношения правдоподобия для обнаружения сигнала со случайной фазой
- •5.3.1. Расчет вероятностей ошибок
- •6. Оценка параметров сигнала
- •6.1. Свойства оценок параметров сигнала
- •6.2 Неравенство Рао-Крамера
- •7. Применение функционала отношения правдоподобия для оценки параметров сигнала
- •7.1. Оценка временного положения сигнала
- •7.2 Обработка пачки сигналов
- •7.3 Реализация алгоритма оценки временного положения сигнала
- •7.3.1 Корреляционный приёмник
- •7.3.2 Согласованный фильтр
- •Библиография
5.3 Применение функционала отношения правдоподобия для обнаружения сигнала со случайной фазой
Рассмотрим
модель квазидетерминированного
сигнала
,
фаза которого
распределена равномерно в интервале
:
,
амплитуда
и частота
детерминированные величины и известны
наблюдателю. Сигнал
принимается на фоне белого шума
со
значениями, распределёнными по нормальному
закону:
.
Реализация
принятого сигнала
Для проверки гипотезы о наличии или об отсутствии сигнала в принятой реализации необходимо вычислить функционал отношения правдоподобия:
.
(5.25)
Однако
функционал отношения правдоподобия
зависит не только от реализации
,
но и от случайной величины
.
Чтобы избавиться от влияния значений
случайной величины
,
усредним
по всем возможным реализациям случайной
величины
:
.
(5.26)
Рассмотрим
интегралы в показателе экспоненты.
Ввиду того, что фаза не является
энергетическим параметром и
,
первый интеграл не зависит от
и будет равен энергии процесса. Тогда
.
(5.27)
Второй интеграл в (5.26) является корреляционным интегралом
(5.28)
со
значением
.
Преобразуем интеграл (5.28), приведя его к виду
=
.
(5.29)
Обозначим
,
(5.30)
со значениями
,
. (5.31)
Подставим
и
в (5.29)
.
(5.32)
Введём
новые случайные величины
и
,
не зависящие от
в явном виде, при помощи преобразования
,
(5.33)
со значениями
,
(5.34)
Геометрическая
интерпретация составляющих
и
приведена на рисунке 5.5. Косинусная
и синусная
составляющие будут значениями случайных
величин, так как они зависят от реализации
.
Следовательно, и модуль вектора
,
и фаза
будут реализациями случайных величин.
Переход от декартовых координат к
полярным координатам позволяет
рассмотреть отдельно модуль и фазу
корреляционного интеграла
,
(5.29). Подставив величины
и
в (5.32) приведём корреляционный интеграл
(5.28) к виду
(5.35)
со значениями
.
(5.36)
Подставим (5.27) и (5.36) в выражение (5.26)
.
(5.37)
Интеграл
после замены
запишется как
.
Интеграл
– функция Бесселя первого рода нулевого
порядка от мнимого аргумента, он
табулирован, а в специальных вычислительных
пакетах приведены программы его
вычисления. Подставим функцию Бесселя
в (5.37) и получим решающее правило
,
(5.38)
где
– безразмерная величина и вычисляется
по (5.34).
Для употребления правила обработки удобнее прологарифмировать функционал отношения правдоподобия и сравнить его с порогом, рассчитанным по выбранному критерию
(5.39)
Из теории специальных функций известно, что
Линейная
аппроксимация величины
соответствует большим значениям
сигнал/шум, а квадратичная аппроксимация
– малым отношениям сигнал/ шум. Положим,
имеем тот случай, когда можно применить
линейную аппроксимацию. Тогда правило
обработки реализации
примет вид
или
,
(5.40)
которое
можно реализовать, используя величины
и
,
(5.31). Блок-схема реализации приемника,
обрабатывающего сигнал со случайной
фазой приведена на рисунке 5.6.