IV.2. Переход к кратным (вложенным) циклам

34. (Суммы и произведения в разных сочетаниях.) Вычислить:

а) ; в);

б) ; г),

где x_ij = ln(i + cos( jy )).

35. (Сумма и минимум одновременно.) Даны интервал (a, b) и последовательность чисел x_ij = sin(ix – /4) + cos(jx + ix), j = 1,….40; i = 1,…,20. Просуммировать числа x_ij  (a, b) и найти среди них наименьшее.

36. (Счастливые билеты.) Трамвайный билет с шестизнач­ным номером называется "счастливым по-московски", если сумма его первых трех цифр равна сумме трех последних цифр, и "счастливым по-ленинградски", если сумма первой, третьей и пятой цифр равна сумме второй, четвертой и шестой цифр. Вы­числить, сколько имеется билетов, счастливых

а) по-московски;

б) как по-московски, так и по-ленинградски.

Указания. а) Число билетов, счастливых по-московски равно , где N_k – число решений уравне­ния x + y + z = k в целых числах 0  x, y, z  9. б) Используя 6-кратный цикл по а, в, с, d, е, f, изменяющимися не­зависимо от 0 до 9 (с шагом 1), определить, сколько раз вы­полняются соотношения a + b + c = d + e + f = a + c + e.

37. (18²+19²+...+28² = 77², или поиск числовых тождеств.) Генерировать в некотором порядке (с последующей печатью) все

а) пары (k, m) целых чисел, для которых 0  k  100; 2  m  100 и (k+1)²+(k+2)²+…+(k+m)² есть полный квадрат;

б) пятерки (m, a, b, s, r) целых чисел, для которых 1  m, b  50; 2a, s, r4 и b^s+(a+b)^s+(2a+b)^s+…+(ma+b)^s есть r-ая степень целого числа.

38. (Эмпирические формулы для некоторых сумм.) Положим

Проверить эмпирические формулы:

вычисляя погрешность Е_F=|F_k –|, где F = P или Q, по­следовательно для k = 1,2,...,50.

39. (Развитие темы задачи 3, или вычисление определенных интегралов по методу последовательного удвоения шагов.) В задаче 3 приведены формулы для вычисления приближенного значе­ния I_n интеграла I. Чтобы обеспечить заданную точность вы­числений, необходимо подобрать число шагов интегрирования n так, чтобы . Использование для этих целей известных оценок остаточных членов квадратурных формул воз­можно, но не всегда удобно. Поэтому на практике поступает следующим образом: строят последовательность значений

и в качестве I берут значение для первогоk, при котором , где . Здесьn – некоторое начальное число шагов интегрирования. Подчеркнем, что при переходе от кчисло шагов интегри­рования удваивается. Погрешностьоцени­вается здесь приближенно по правилу Рунге:, где = 1/3 для формул прямоугольников и трапеций и  = 1/16 для формулы Симпсона.

Конкретное задание: вычислить значения определенных ин­тегралов из задачи 3, используя предложенный метод. Взять n = 4 и  = 0.0001. Дополнительные варианты:

а) , (a, b) = (0, );

б) ,;

в) , (a,  b)  =  (–1,  1).

(Сверьте Ваши ответы с теоретическими:

a) ln|r| для |r| > 1; б) дляm = 1,2,...; в) для 0 < ,  < 1.)

V. Управление потоками данных

Вариации задач:

а) с известной (например, 99) или неизвестной (по вводимому N или EOF()) длиной входного потока;

б) функция преобразования может быть условной, т.е. зависящей от входных данных и/или номера i входной группы данных (например, поочередно sin, ln).

1. (Синхронизация (ВХОД: ВЫХОД) 1:3.)

а) Для каждого числа входного потока послать в выходной поток его sin(), cos() и tg().

б) Во входном потоке поступают коэффициенты многочлена P(x) = p₀ + p₁x + p₂x² + p₃x³ +… Послать в выходной поток коэффициенты многочлена (a + bx + cx²)  P(x³).

2. (Синхронизация 3:1 с неперекрывающейся группировкой троек на входе.)

а) Для каждой смежной (не перекрывающейся) тройки чисел входного потока послать в выходной поток sin от их суммы.

б) Во входном потоке поступают элементы (3?)-матрицы по столбцам (по 3 элемента в столбцах). Послать в выходной поток элементы вектора – результат умножения заданного вектора (a,  b,  c) на данную матрицу.

3. (Синхронизация 3:3 с перекрывающейся группировкой троек на входе.)

а) Для каждой (последовательной) тройки чисел входного потока послать в выходной поток sin от их суммы.

б) Во входном потоке поступают коэффициенты многочлена в стандартном представлении. Послать в выходной поток коэффициенты результата умножения (деления) этого многочлена на (a + bx + cx²).

4. (Свернуть-развернуть.)

а) Входной поток содержит последовательность символов 0 и 1 – цифры целого числа в двоичном представлении (поступающие с младшей/старшей цифры). Вычислить значение этого числа.

б) Для введенного целого числа послать в выходной поток цифры (0, 1) его двоичного представления (с младшей/старшей цифры).

5. (Синхронизация 1: (≥0).) Во входном потоке поступают целые числа. Для каждого положительного числа входного потока послать в выходной поток символ “+” соответствующее количество раз и ограничитель – символ “;”.

6. (Синхронизация :1.) Во входном потоке поступает последовательность символов. Для каждого её отрезка, содержащие только символы “+”, послать в выходной поток целое число, равное количеству символов в отрезке.

7. (Многопотоковые задачи.) Выполнить:

а) слияние (пересечение, объединение) двух (и более) упорядоченных последовательностей чисел;

б) рассортировать положительные и отрицательные числа входного потока в два выходных потока, исключив нули.

8. (-свойства.) Два числа (x,  y) назовём друзьями, если sin(xy) > 0. Тройку чисел (x,y,z) назовём компанией, если sin(x y z) > 0. Числа из входного потока G назовём физиками, а числа из входного потока H назовём лириками.

а) (-свойство.) Из входного потока F отобрать в выходной поток числа, для которых все физики являются друзьями.

б) (-свойство.) Из входного потока F отобрать в выходной поток числа, у которых есть друзья среди физиков.

в) (-свойство.) Из входного потока F отобрать в выходной поток числа, которые с каждым физиком могут подобрать компанию с участием подходящего лирика.

г) (-свойство.) Из входного потока F отобрать в выходной поток числа, которые с подходящим физиком образуют компанию с участием любого лирика.

Приложение