7Признаки сходимости числового ряда

Поскольку:

,

то интеграл расходится. Значит, расходится и данный ряд. ◄

► Пример. Исследовать на сходимость ряд (ряд Дирихле или обобщённый гармонический ряд).

Решение. Проверим необходимое условие сходимости числовых рядов:

.

Ряд может как сходиться, так и расходится.

Рассмотрим случай, когда . Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Очевидно, что : , поэтому ряд при расходится.

Рассмотрим случай, когда . В этом случае получаем расходящийся гармонический ряд.

Рассмотрим случай, когда . Функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке .

,

то есть интеграл сходится, значит, сходится и данный ряд.

Таким образом, ряд расходится при и сходится при . ◄

107