7Признаки сходимости числового ряда
.doc
РАЗДЕЛ IV. РЯДЫ
ЛЕКЦИЯ 2. НЕОБХОДИМЫЙ И ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВОГО РЯДА
Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд
Найти -ую частичную сумму и её предел для произвольного ряда иногда довольно сложно. В таких случаях пользуются признаками сходимости ряда. Первым из них является необходимый признак сходимости.
■ Теорема 2.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при , то есть
.
Доказательство. Рассмотрим частичные суммы ряда :
, .
По условию ряд сходится. Обозначим его сумму через , тогда
, .
Так как при , то
. ■
Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если или не существует, то ряд расходится.
Действительно, если бы ряд сходился, то . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится. Ряд, у которого общий член стремится к нулю, может как сходиться, так и расходиться.
► Пример. Исследовать на сходимость ряд:
а) ;
б) ;
в) (гармонический ряд).
Решение. а) Необходимый признак сходимости числового ряда не выполняется:
,
поэтому данный ряд расходится.
б) Необходимый признак сходимости числового ряда не выполняется:
,
поэтому данный ряд расходится.
в) Необходимый признак сходимости числового ряда выполняется:
.
Ряд, у которого общий член стремится к нулю, может как сходиться, так и расходиться.
Из равенства следует, что при любом натуральном имеет место неравенство . Прологарифмируем это неравенство по основанию :
,
,
.
Подставляя в полученное неравенство поочерёдно , 2, …, , , получим:
,
,
,
…,
.
Сложив почленно эти равенства, получим . Поскольку , то , то есть гармонический ряд расходится. ◄
Положительные числовые ряды и достаточные признаки их сходимости. Необходимый признак сходимости не даёт, в общем случае, возможности ответить на вопрос о сходимости ряда. Сходимость и расходимость ряда можно установить с помощью достаточных признаков сходимости ряда. Рассмотрим некоторые из них для положительных рядов.
Определение 2.1. Ряд, все члены которого положительны, называется числовым положительным рядом:
, , .
Сходимость или расходимость положительного ряда можно установить, сравнив его с другим, «эталонным» рядом, о котором точно известно, сходится он или нет.
■ Теорема 2.2 (признак сравнения). Пусть даны два положительных ряда
(А) и (Б),
и пусть при для этих рядов выполняется условие:
.
Тогда из сходимости ряда (Б) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (Б).
Доказательство. Докажем, что из сходимости ряда (Б) следует сходимость ряда (А).
По условию . Обозначим через и -ые частичные суммы рядов (А) и (Б) соответственно:
, .
Из неравенства следует, что . Ряд (Б) сходится, поэтому он имеет сумму, обозначим её . Тогда . Значит, и . Получается, что монотонно возрастающая числовая последовательность , , …, , … ограничена, поэтому она имеет предел (теорема о существовании предела). Значит, ряд (А) сходится.
Докажем, что из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (Б).
Из расходимости ряда (А) следует, что или не существует. Но из условия следует, что . Тогда , то есть ряд (Б) расходится. ■
► Пример. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Вычислим предел общего члена
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии .
Ясно, что при .
Ряд сходится, так как . Согласно признаку сравнения, данный ряд также . ◄
■ Теорема 2.3 (предельный признак сравнения). Если для положительных рядов
(А) и (Б)
существует конечный и отличный от нуля предел
( ),
то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.
Доказательство. Равенство означает, что для любого существует такой номер , что при всех выполняется неравенство
,
откуда
,
( ).
Взяв и обозначив ( ), ( ), получим
( ).
Пусть ряд (Б) сходится. Тогда сходится и ряд . Отсюда из неравенства по признаку сравнения получаем, что сходится и ряд (А). Если ряд (А) сходится, то из неравенства и признака сравнения следует, что сходится ряд . Тогда сходится и ряд (Б). Таким образом, доказано, что из сходимости ряда (Б) следует сходимость ряда (А) и обратно.
Если ряд (А) расходится, то из неравенства и признака сравнения следует, что и ряд (Б) расходится. Если расходится ряд (Б), то из неравенства и признака сравнения следует расходимость ряда (А).■
► Пример. Исследовать на сходимость ряд
а) ;
б) .
Решение. а) Вычислим предел общего члена
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который расходится. Для этого вычислим предел отношения общих членов заданного и гармонического рядов:
.
Так как , то на основании предельного признака сравнения заключаем, что данный ряд расходится.
б) Вычислим предел общего члена
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Сравним данный ряд со сходящимся рядом геометрической прогрессии . Для этого вычислим предел отношения их общих членов:
.
Так как , то на основании предельного признака сравнения заключаем, что данный ряд сходится. ◄
В отличие от признаков сравнения, где всё зависит от догадки, признак Даламбера (Даламбер – французский математик, 1717 – 1783) позволяет ответить на вопрос о сходимости ряда (но не всегда) с помощью несложных операций над членами ряда с номерами и .
■ Теорема 2.4 (признак Даламбера). Пусть дан положительный ряд и существует конечный или бесконечный предел
.
Если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то ряд может сходиться, а может и расходится.
Доказательство. Равенство означает, что для любого существует такой номер , что при всех выполняется неравенство:
,
Откуда
,
.
Пусть . Выберем так, чтобы и обозначим , . Из неравенств следует, что или при . Полагая в последнем неравенстве , , , …, получаем:
,
,
,
… .
Следовательно, начиная с номера , все члены данного ряда не превосходят соответствующих членов геометрической прогрессии. Поскольку эта прогрессия сходится ( ), то сходится остаток после члена с номером , поэтому сходится и данный ряд.
Пусть . Выберем так, чтобы и обозначим , . Из неравенств следует, что или при , , … . Это означает, что, начиная с номера , члены ряда возрастают. В этом случае не выполняется необходимый признак сходимости и ряд расходится. ■
► Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Вычислим предел общего члена
.
Необходимый признак выполняется, так как знаменатель возрастает быстрее числителя при . Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Поскольку
, ;
;
,
следовательно, данный ряд сходится. ◄
■ Теорема 2.5 (радикальный признак Коши). Пусть дан положительный ряд и существует предел
.
Тогда, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
Доказательство. Условие означает, что для любого существует такой номер , что при всех выполняется неравенство:
,
откуда
,
.
Пусть . Выберем так, чтобы и обозначим , . Из неравенств следует, что или при . Итак, каждый член ряда, начиная с номера , меньше соответствующего члена сходящейся геометрической прогрессии ( ), поэтому данный ряд сходится.
Пусть . Выберем так, чтобы и обозначим , . Из неравенств следует, что или при . В этом случае не выполняется необходимый признак сходимости и ряд расходится. ■
► Пример. Исследовать на сходимость ряд:
а) ;
б) .
Решение. а) Вычислим предел общего члена
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Поскольку
,
то данный ряд сходится.
б) Вычислим предел общего члена
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Так как , то применим радикальный признак Коши к ряду .
Поскольку
,
то данный ряд сходится. ◄
■ Теорема 2.6 (интегральный признак Коши). Если члены положительного ряда не возрастают ( ) и существует неотрицательная невозрастающая при функция , принимающая в точках значения , , то ряд сходится или расходится вместе с интегралом:
.
Доказательство. Если , то , откуда
;
.
Суммируя члены последнего двойного неравенства от до , получаем
;
,
то есть
или
.
Если интеграл сходится, то при любом натуральном . Следовательно,
или
( ).
Так как – монотонно возрастающая и ограниченная последовательность, то существует предел , то есть ряд также сходится. Если ряд сходится и , то при любом . Из неравенств следует, что при любом . Несобственный интеграл также сходится. ■
Замечание. Теорема верна и в случае, когда нижний предел в несобственном интеграле равен и равенство выполняется для ( ).
► Пример. Исследовать на сходимость ряд:
а) ;
б) .
Решение. а) Необходимый признак выполняется, так как
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Члены данного ряда убывают , поэтому применим интегральный признак Коши. Функция положительна и убывает при . Поскольку:
,
то есть интеграл расходится, значит, расходится и данный ряд.
б) Необходимый признак выполняется, так как
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Члены данного ряда убывают , поэтому применим интегральный признак Коши. Функция положительная и убывает при .