4Экстремум ФДП

ЛЕКЦИЯ 4. БЕЗУСЛОВНЫЙ И УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФДП. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФДП В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ

Безусловный экстремум функции двух переменных. Двумерной -окрестностью точки называется множество точек , принадлежащих открытому кругу сколь угодно малого радиуса с центром в точке .

Определение 4.1. Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такая двумерная -окрестность этой точки, где определена, непрерывна и для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство:

(соответственно для точки локального минимума ).

Определение 4.2. Точка называется точкой глобального максимума (глобального минимума) функции , если для всех точек , для которых функция определена, выполняется неравенство:

( ).

Точки максимума или минимума ФНП называются точками экстремума. Значения функции в экстремальных точках называются экстремумами функции.

Рассмотрим необходимое условие существования экстремума функции двух переменных.

■ Теорема 4.1 (необходимое условие существования экстремума функции двух переменных). Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то её первые частные производные в этой точке равны нулю:

, .

Доказательство. Предположим, что – точка максимума, тогда для всех точек , достаточно близких к точке .

Фиксируя , получаем функцию одной переменной . Эта функция при имеет максимум, поэтому её производная (по ) в точке равна нулю: . Аналогично доказывается, что . Таким образом, в точке максимума

, .

Для точки минимума функции доказательство аналогичное. ■

Определение 4.3. Точки, в которых первые частные производные равны нулю (не существует), называются стационарными (критическими).

Условие равенства нулю первых частных производных функции в точке является необходимым условием существования экстремума, но не достаточным, так как оно может выполняться и в точках, где нет экстремума. Например, для функции точка является стационарной, так как в ней , обращаются в ноль. Но экстремума в точке у функции нет потому, что в достаточно малой окрестности точки есть точки для которых (точки I и III четвертей) и (точки II и IV четвертей).

Поэтому каждую критическую точку нужно дополнительно исследовать. Это можно сделать с помощью достаточного условия существования экстремума функции двух переменных.

Обозначим вторые частные производные функции следующим образом:

, , .

■ Теорема 4.2 (достаточное условие существования экстремума функции двух переменных). Пусть функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки .

Если первые частные производные в этой точке равны нулю, то при

,

точка является точкой экстремума. Причем, если , то – точка минимума, если , то – точка максимума.

Доказательство. Полный дифференциал второго порядка функции в точке имеет вид:

или

.

Вынесем величину за скобки в правой части последнего равенства:

или

.

Очевидно то, что знак второго дифференциала совпадает со знаком квадратного трехчлена . Известно, что квадратный трехчлен имеет постоянный знак, если дискриминант

,

причем имеет знак «+» при (или ) и «–» при (или ).

Учитывая вышесказанное и то, что

,

делаем вывод:

1. если , то является точкой экстремума. Причем, если , то – точка минимума, если , то – точка максимума;

2. если , то функция не имеет экстремума в точке .■

Замечание. Если в точке имеет место равенство

, (3)

то функция может иметь экстремум в этой точке, а может и не иметь его. Этот случай требует дополнительных исследований.

► Пример. Найти экстремумы функции .

Решение. Функция определена для всех . Найдем первые частные производные:

, .

Для нахождения стационарных точек приравниваем частные производные нулю:

,

Решив систему уравнений, получим , . Нашли стационарную точку .

Для определения характера экстремума найдем в точке вторые частные производные:

,

,

.

Тогда и , значит, функция имеет максимум в точке и . ◄

Наибольшее и наименьшее значения функции. Если функция дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной (критической) точке, или в граничной точке области. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо:

– найти стационарные (критические) точки в этой области и значения функции в них;

– найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;

– выбрать из найденных значений наибольшее и наименьшее.

Замечание. В данном случае нет необходимости исследовать функцию на экстремум с помощью частных производных второго порядка. Требуется найти критические точки и значения функции в них. Для функции граница области состоит из нескольких дуг (отрезков), уравнения которых , где или , где . Поэтому на соответствующих дугах границы данная функция является функцией одной переменной:

или .

► Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , ограниченной прямыми , , .

Решение. Данная область представляет собой треугольник, ограниченный прямой и координатными осями (рис. 4).

Н айдем стационарные точки, лежащие внутри области . Для этого вычислим частные производные и приравняем их нулю:

Полученная система равносильна четырем системам:

1) 2)

3) 4)

Решив их, найдем стационарные точки:

, ; ; ; ; ,

которые принадлежат данной области или её границе. В этих точках значения функции равны ; .

Найдем стационарные точки на границе области. При , нет стационарных точек, кроме указанных и значения функции равны нулю.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на прямой , , подставим это значение в данную функцию. Получаем функцию одной переменной :

.

Вычислим производную функции :

и приравняем ее нулю:

.

Получим две стационарные точки: и . Точка совпадает с точкой и , .

Сравнивая значения функции в полученных критических точках, заключаем, что

и . ◄

Условный экстремум функции двух переменных. Метод Лагранжа. При определении безусловного экстремума функции двух переменных на независимые переменные и не накладывается никаких дополнительных условий. В задачах на условный экстремум поведение независимых переменных ограничено определенными условиями. Пусть задана функция в области (целевая функция) и пусть требуется определить экстремум этой функции при условии, что переменные удовлетворяют уравнению связи . Экстремумы такого вида называются условными. Для их нахождения обычно используется метод Лагранжа. Принцип его работы следующий.

Сначала нужно составить функцию Лагранжа:

,

где – неопределенный постоянный множитель (множитель Лагранжа).

Исследуем теперь функцию Лагранжа на безусловный экстремум. Необходимые условия экстремума функции выражаются системой трёх уравнений:

Решив её, получим стационарные (критические) точки, например, точку .

Вопрос о существовании и характере условного экстремума в точке решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа , который можно найти, вычислив определитель:

,

где

, , ,

, , .

Если и , то стационарная точка – точка минимума.

Если и , то стационарная точка – точка максимума.

Геометрический смысл локального условного экстремума функции в точке состоит в том, что градиенты целевой функции и функции связи, выходящие из точки , обязательно расположены на одной прямой, причем . Отсюда следует, что линии уровней целевой функции и функции связи, содержащие точку , касаются в этой точке.

► Пример. Исследовать функцию на экстремум при условии, что её аргументы удовлетворяют уравнению .

Решение. Составляем функцию Лагранжа:

.

Находим её частные производные и составляем систему для определения координат точек возможного условного экстремума и значения :

Решив её, получим две тройки чисел:

Таким образом, имеем две стационарные точки:

и .

Находим частные производные второго порядка функции :

, , ,

, , .

Вычисляем определитель:

.

Значение определителя в точке при больше нуля и , следовательно, точка – точка условного минимума. Значение определителя в точке при меньше нуля и , следовательно, точка – точка условного максимума. Найдем значения функции в точках условного экстремума:

, . ◄

► Пример. Имеются два технологических процесса производства некоторого изделия. Издержки производства при каждом технологическом процессе описываются функциями: и , где и – объемы производимых изделий при первом и втором технологических процессах соответственно. За некоторое время нужно произвести 100 единиц изделий, воспользовавшись двумя технологическими процессами. Выпуск изделий нужно распределить так, чтобы минимизировать общие издержки.

Решение. Общие издержки будут заданы функцией: . Необходимо произвести изделий. Для минимизации общих издержек при условии составим функцию Лагранжа:

.

Найдем её частные производные и, приравняв их нулю, получим систему:

,

,

.

Решив эту систему, получим , , .

Для определения характера стационарной точки вычислим частные производные второго порядка и их значения при , , .

Для того, чтобы определить, существует ли экстремум, составляем и вычисляем определитель:

.

Следовательно, точка – точка условного минимума,

.

Таким образом, для минимизации общих издержек, которые составят ден. ед., нужно 52 изделия произвести первым технологическим способом, а 48 изделий – вторым технологическим способом.

Градиенты целевой функции и функции связи в экстремальной точке :

,

.

Т ак как , то , то есть равенство выполняется. Полученные градиенты представлены на рис. 3. ◄

8