1.2. Методическиеуказаниякпрактическимзанятиям
|
Тема |
Задачи |
Рекомендации |
Задачииз |
|
занятия |
сборников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Определение |
1. При определении волнового уравнения необходимо помнить, что волновой |
[12] |
|
|
волновогоуравнения |
процесс– этоколебание,котороераспространяетсявпространстве,поэтомупри |
№7.1– 7.26 |
|
|
поизвестным |
определении параметров волны по известному уравнению необходимо |
[1] |
|
|
параметрамволны. |
зафиксировать координату и рассматривать колебания в данной точке |
№17.4,17.5 |
|
|
2. Определение |
пространства,илизафиксироватьвремяирассматриватьраспространениеточек |
[11] |
|
|
параметровволныпо |
колеблющихсяводинаковойфазе. |
№4.116– 4.156 |
|
|
известному |
|
|
процессы |
|
|
|
волновому |
2.ЭффектДоплерадляакустическихволнописываетсясоотношением(26),где |
[12] |
|
|
|
|
уравнению.Фазовая |
скоростьзвуказависитотсвойствсреды,вкоторойонраспространяется. |
|
|
№7.28– 7.36 |
|
|
игрупповая |
|
|
Волновые |
скорости. |
3.Определениегрупповойскоростиосуществляетсяпозаданнойзависимости |
|
|
3. Определение |
фазовойскоростиотчастотыилидлиныволны.Приэтомзависимостьот |
[12] |
|
|
частотзвуковых |
частотыможетбытьпреобразованавзависимостьотдлиныволныспомощью |
№7.37– 7.48 |
|
|
колебанийв |
соотношения,связывающегоскорость,длинуволныичастоту |
|
|
|
соответствиис |
|
|
|
|
|
|
|
эффектомДоплера. |
|
|
|
|
Определение |
|
|
|
|
фазовойигрупповой |
|
|
|
|
скоростейпо |
|
|
|
|
заданнойфункции |
|
|
|
|
(дисперсии) |
|
|
214
1.4. Примеры решения задач
Пример 1. Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси x в среде, не поглощающей энергию, со скоростью = 15 м/с. Две точки, находящиеся на прямой на расстоянии x1 5 м и x2 5,5 м от источника колебаний,
колеблются с разностью фаз 5 . Амплитуда волны А = 4 см.
Определить: 1) длину волны, 2) уравнение волны, 3) смещение 1 первой точки в момент времени t = 3 c (Уровень 2).
Решение.
1). Разность фаз колеблющихся двух точек волны 2 x , где x x2 x1
– расстояние между этими точками. Тогда 2 (x2 x1) , откуда 5 м
2). Циклическая частота 2 T , но T , поэтому 2 . Уравнение плоскойволны,распространяющейсявдольположительногонаправления оси x
|
x |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
(t, x) Acos t |
|
|
Acos |
|
( t x) 0,04cos |
|
6 t |
|
x |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3). Подставив значение t = 3 с и x1 5 м, получим |
|
|
|
(t,x) 0,04cos 6 t |
2 |
x 4 cм |
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 5 м, (t,x) 0,04cos |
6 t |
|
2 |
x |
|
4 cм |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Неподвижный приемник при приближении источника |
звука, излучающего волны с частотой 0 360 Гц, |
регистрирует звуковые |
колебания |
с частотой |
400 Гц. |
Принимая |
температуру воздуха |
T 290 K , |
его молярную |
массу M 0,029 |
кг/моль, определите скорость |
движения источника звука (Уровень 2).
Решение. В акустике для эффекта Доплера при покоящемся
приемнике ( пр 0 ) и приближающемся |
со скоростью ист источнике, |
частота звука определяется выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
пр |
0 |
|
|
, |
|
|
|
|
ист |
|
ист |
где – скорость звука. Тогда скорость источника
|
|
Скорость распространения звуковых волн в газах определяется как |
|
|
|
|
|
|
i 2 |
|
7 |
|
|
RT |
|
, где для воздуха |
. После подстановки численных |
|
|
i |
|
|
|
M |
|
5 |
|
данных получаем ист 34,1 м/с.
Ответ: ист 34,1 м/с
Пример 3. Определите разность фазовой и групповой скоростей волны частота которой 800 Гц, если фазовая скорость задается
выражением |
|
a0 |
|
, где a |
24 |
м |
, b 100 Гц (Уровень 4). |
|
|
|
3 |
|
|
b |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
с 2 |
|
Решение. Выражение для групповой скорости имеет вид
u d . d
Скорость волны связана с частотой и длиной волны выражением
, поэтому, подставив в |
|
|
a0 |
|
можно получить функцию |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Продифференцируем это выражение по скорости |
a2 |
b 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 (3a2 b 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
. |
|
|
|
|
d |
(a2 |
b 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Перевернув дробь, получим выражение для искомой производной (дисперсии)
|
d |
|
|
(a2 b 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
. |
|
|
d |
2 |
2 |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3a0 |
b |
|
|
Разность скоростей определяется выражением |
|
|
|
|
|
u |
d |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
После подстановки |
|
|
a0 |
|
с учетом |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
a0 |
|
|
, т.е. u 0,246 |
м |
. |
|
|
|
|
(3 2b) |
b |
|
|
с |
|
Ответ: u 0,246 мс .
Пример 4. В незатухающей бегущей волне задана точка М, отстоящая от источника колебаний на расстоянии y 
12 в направлении распространения волны. Амплитуда колебаний А = 0,050 м. Считая в начальный момент времени смещение точки Р, находящейся в источнике, максимальным, определить смещение от положения равновесия точки М для момента t = T/6, а также разность фаз колебаний точек М и Р (Уровень
3).
Решение. Смещение точки М можно найти с помощью уравнения бегущей волны. Используя условие задачи, преобразуем это уравнение так, чтобы в него вошли длина волны и период Т колебаний. Учитывая соотношение 2 /Т , получим
Чтобы найти начальную фазу 0, воспользуемся начальными условиями задачи: если t = 0, y = 0, то x = A. При этих значениях t, y, x из уравнения (1) имеем sin 0 1, откуда 0 = /2.
Подставив числовые значения величин А, t/T, y/ , 0 в (1), получим
|
х 0,050sin |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,050 0,87 |
м 0,044 м. |
|
6 |
12 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления разности фаз М – Р колебаний точек М и Р, учтем, что для точки Р координата y = 0. Следовательно, в любой момент t фаза
точки Р, т.е. аргумент синуса в (1), равна |
2 t |
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
|
y |
|
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
2 |
y |
. |
(2) |
M |
P |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот же результат можно получить сразу, если положить y1 – y2 = – y. Подставив в (2) числовое значение отношения y/ , найдем
М Р 2 1/12 /6.
Таким образом, колебания точки М отстают по фазе от колебаний источника на угол /6.
Ответ: х 0,044 м, М Р /6.
Пример 5. Показатель преломления сероуглерода для света с длинами волн 509, 534 и 589 нм равен соответственно 1,647; 1,640 и 1,630. Вычислить фазовую и групповую скорости света вблизи длины волны 534
нм (Уровень 5).
Решение. Групповая скорость u связана с фазовой скоростью света в среде соотношением
u |
d |
. |
|
|
|
|
(1) |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что c n и n n , из (1) получаем, |
|
|
dn |
u 1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
Полагая, что зависимость n n |
|
|
|
|
|
n d |
|
в условии |
задачи |
в |
|
данном |
диапазоне длин волн близка к линейной, можем записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
(2) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где n
– изменение показателя преломления с увеличением длины волны. Для = 534 нм и n = 1,640 находим численное значение выражения в скобках (2)
cp n 534 нм 1,647 1,630 0,069. ncp 1,640 509 589 нм
где cp = 534 нм и ncp = 1,640 – среднее значение зависимости n n .
Из соотношения (2) определяем
u |
|
n |
1 0,069 0,931; |
|
|
1 |
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
n |
|
|
u 0,931 .
Учитывая, что c
n, находим значение фазовой скорости вблизи
= 534 нм (т.к. показатель преломления при этом равен 534)
3 108 м/с 1,83 108 м/с.
1,640
По формуле (3) вычислим групповую скорость u = 0,931 1,83 108 м/с = 1,70 108 м/с.
