1427 / MU_po_KP

Рассмотрим определение мощности, необходимой для вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси (рис. 5.1). Пусть в некоторой точке М твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной вертикальной оси (рис.3.1) приложена сила F. Разложим эту силу на две взаимно перпендикулярные составляющие: F′, лежащую в плоскости П, перпендикулярную к оси вращения тела, и F′′, перпендикулярную к этой плоскости, т. е. параллельную к оси вращения.

Рис. 5.1. К определению мощности

Работа силы F равна сумме элементарных работ составляющих сил F′, и F′′. Сила F′′ направлена перпендикулярно к перемещению точки М, происходящему в плоскости П, и потому её работа без учёта сил трения в опорах равна нулю.

Элементарная работа dA cилы F будет равна работе составляющей F′: dA = F′ds * cosa , где a угол между векторами силы F′ и скорости v. Траекторией движения точки М твёрдого вращающегося тела является окружность радиуса ОМ=r, и соответственно перемещение этой точки ds = rdϕ , где dϕ -

элементарный угол поворота тела (в радианах).

0

В случае переменной величины вращающего момента Т, для вычисления данного интеграла должна быть известна зависимость вращающего момента от угла поворота ϕ , т.е. T = f (ϕ).

32

Обычно в инженерных задачах значения вращающего момента приложенных сил и требуемой скорости известны, или заданы в производных величинах. Определение точного значения коэффициента полезного действия (КПД) весьма трудоёмкая задача и его рекомендуется принимать по справочной литературе и табл. 5.1.

Таблица 5.1

Значения КПД типовых передач и устройств

Примечание. В гидравлических системах дополнительно уч и-

тываются потери при перемещении рабочей жидкости по трубопроводам и в аппаратуре управления

Рассмотрим ряд примеров определения номинальной мощности для различных приводов.

Задача 5.1. Поезд массой m=800т поднимается со скоростью

v = 40км/ч по уклону h = 30м на 1км пути (Рис.5.2). Приведенный коэффициент трения при движении поезда по рельсовому пути fпр = 0,005.

Коэффициент полезного действия механической системы от двигателя тягового электровоза к колёсам η0 = 0,8.

Рис.5.2. К задаче 5.1

Определить мощность развиваемую двигателем электровоза.

33

Решение. При постоянной скорости движения поезда по рельсовому пути он преодолевает силы трения Fтр от нормальной составляющей N силы веса mg и от силы веса на наклонной плоскости равной mg sin a . Проецируя все

силы на ось X , согласно второму закону Ньютона, получим уравнение: − mg sin a − Fтр + F = 0. Движение равномерное и ускорение равно нулю.

Обратите внимание, что при конкретных вычислениях, заданные в задаче величины, приведены в требуемую размерность, т.е скорость в м/с, масса в кг, длина пути в м.

Задача 5.2. Определить мощность двигателя двухстоечного кантователя с поворотной рамой 1, показанного на рис. 5.3 для вращения детали 2, закрепленной на поворотной раме при следующих условиях: масса детали 1000кг, масса вращающихся деталей кантователя – 400 кг, частота вращения n = 10мин-1, опоры поворотной рамы 3 установлены в подшипниках качения средним диаметром dп=100мм. Червячный редуктор 5 с двухзаходным червяком, двигатель соединён с редуктором упруго-пальцевой муфтой, а редуктор передаёт вращение поворотной раме посредством цепной передачи 5. Центр тяжести детали смещён относительно оси вращения О-О на е=150мм.

Рис. 5.3. К задаче 5.2

Решение. В соответствии с уравнением 5.3 мощность двигателя для

T1 = ∑ mg * e( сила веса вращающиеся частей на величину смещения) и момента трения в опорах рамы Ттр = ∑mg * 0,5dп * f , где f

34

f = 0,015. η0 - суммарный КПД машины, кото-

рый в нашем случае включает в себя КПД муфты между двигателем и редуктором η1 = 0,985; КПД редуктора η2 = 0,8; КПД цепной передачи η3 = 0,97; КПД

четырёх пар подшипников η4 = 0,994.

η =η1 *η2 *η3 *η4 = 0,985* 0,8* 0,97* 0,994 = 0,73.

Здесь, как и предыдущей задаче, все величины приведены в требуемую размерность, т.е. ω = 2π * n /60 рад/с, и единицы длины приняты в м.

Отметим сразу конструктивные недостатки принятой кинематической схемы кантователя. В приведенной на рисунке схеме, вращение раме кантователя передаётся от двигателя через муфту, червячный редуктор и цепную передачу, которая обязательно требует установку натяжного устройства. Если выбрать в качестве привода мотор-редуктор (серийно выпускаемый) и соединить его напрямую через муфту с поворотной рамой минуя цепную передачу, то конструкция значительно упростится, КПД системы повысится, требуемая мощность уменьшится, и снизятся затраты на изготовление машины.

Таблица5.2. Рекомендуемые значения коэффициентов трения в подшипниках

На рис.5.4 и 5.5 показана конструкция одностоечных кантователей с горизонтальной и наклонной осью вращения, где: 1–станина; 2–червячный редуктор; 3– электродвигатель; 4–корпус шпинделя; 5–зубчатое колесо; 6–защитный кожух; 7–крепежная планшайба; 8–вращаемое изделие; 9–шестерня. Принципиально расчёт номинальной мощности привода не меняется, но при определении момента трения необходимо рассчитать опорные реакции на подшипниках вала шпинделя. Чем больше будет расстояние l (рис.5.4), тем больше радиальная нагрузка на подшипники от силы веса вращаемой детали и соответственно больший момент трения. На подшипники кантователя рис.5.5 действуют радиальные и осевые силы и в таких случаях, как правило, шпиндель устанавливается в радиально-упорных подшипниках. Момент трения определяется с учётом обеих сил.

35

Далеко не всегда машины и механизмы нестандартного оборудования выполняют работу с постоянной скоростью исполнительного органа. При ремонтных работах приходится перемещать вагоны и крупные детали с одной позиции на другую, выводить на рабочую скорость перемещения за оптимальное время с последующей остановкой. Здесь вступают в действие силы инерции, величина которых в ряде случаев может превышать рабочие нагрузки (например при вращении стрелы поворотного крана). В общем виде силы инерции равны Fин = ±ma , где m – масса тела, a – ускорение разгона или торможе-

ния тела, учитываемое знаками ± в формуле.

В таблице 5.3 приведены зависимости для различных видов движения. Обратите внимание на существующую аналогию выражений при переходе от поступательного движения к вращательному.

Таблица5.3 Расчётные формулы для различных видов движения

37

Вращающий момент Т, приложенный к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси с переменной скоростью, равен моменту инерции тела J относительно этой оси, умноженному на угловое ускорение тела:

Т = Jε . (5.4)

Данное уравнение называется основным уравнением динамики для вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Так как момент инерции J данного тела относительно данной оси есть величина постоянная, то, при постоянном вращающем моменте Т угловое ускорение ε есть величина постоянная, т. е. тело совершает равномерно переменное вращение.

Иногда момент инерции J тела относительно какой-либо его оси определяют просто как сумму, составленную из произведений массы тк каждой частицы тела на квадрат расстояния этой частицы от данной оси:

J = ∑mk rk2 .

Следует иметь в виду, что это равенство приближенное. Момент инерции выражают в кГ*м2.

Иногда бывает удобно момент инерции J тела относительно оси представить в виде произведения массы т тела на квадрат длины некоторого отрезка rи , называемого радиусом инерции тела относительно

данной оси: J = mrи2 .

Если момент инерции тела относительно оси найден, то радиус инерции тела относительно этой оси легко находится из предыдущей

формулы: rи = J m .

Очевидно, что под радиусом инерции тела относительно данной оси можно понимать длину отрезка, равного расстоянию от данной оси до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу т тела, чтобы получить момент инерции этой точки, равный моменту инерции тела относительно данной оси.

Ниже в табл. 5.4 приведены значения моментов инерции простейших геометрических тел

Из курса теоретической механики известно, что для вычисления момента инерции тела относительно параллельной оси, отстоящей от оси на расстоянии rs от оси, проходящей через центр масс самого тела, необходимо момент

инерции вокруг собственной оси умножить на массу тела и квадрат расстояния между осями Jz′ = Jz + mrs2 . Из данной формулы следует, что момент инер-

ции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, всегда меньше, чем момент инерции данного тела относительно любой другой оси.

Известно также, что траекторию движения твёрдого тела можно определить, зная модуль и направление скорости и ускорения двух любых точек этого тела, или зная траекторию движения любой его точки и момент внешних сил относительно этой точки. Представим это графически (рис.5.6).

38

а) при ω = const и положении центра тяжести на оси вращения (rs = 0) силы инерции элементарных масс взаимно уравновешиваются (рис. 5.6, б);

приложенной к центру тяжести звена, и к паре с моментом Mи = −Jsε.

Рис. 5.6. Силы инерции, действующие на звенья:

а – движущееся, поступательно; б - е – вращающиеся; ж, з–совершающие сложное плоское движение.

Нормальная и тангенциальная составляющие Ри:

Ри и Ми могут быть также сведены к одной равнодействующей Ри

40