RGR_po_TM_33_MOYa_33

Исследование прямолинейных колебаний

платформы

Задание:

Дана схема механической системы, состоящей из платформы, электродвигателя, установленного на платформе, эксцентричной массы на валу электродвигателя. Исходные данные приведены в таблице:

Сила тяжести, Н

Линейный размер, см

Коэфф-т

жёсткости

Коэфф-т

затухания

Угловая скорость

Время работы

P₁

P₂

P₃

a

l

c (кН/см)

b (c ^–1)

b (c ^–1)

b (c ^–1)

 (c ^–1)

t₁ (c)

60

450

30

32

12

2,4

0

32

52

205

0,1

Требуется:

1. Рассчитать приведённые жёсткости опор платформы и найти точку приложения эквивалентной силы упругости опор платформы.

2. Расположить электродвигатель с эксцентричной массой на его оси так, чтобы платформа совершала поступательные перемещения вдоль вертикальной оси.

3. Составить дифференциальное уравнение гармонических колебаний платформы с учётом вращения ротора электродвигателя с постоянной угловой скоростью , считая, что центр тяжести эксцентричной массы отстоит от оси электродвигателя на расстоянии l.

4. Используя компьютер, исследовать:

   1. Свободные незатухающие прямолинейные колебания платформы;

   2. Свободные затухающие прямолинейные колебания платформы;

   3. Вынужденные прямолинейные колебания платформы;

5. Исследовать изменение коэффициентов динамичности и сдвига фазы вынужденных колебаний платформы.

1. Определение приведённых жёсткостей опор платформы и точки приложения эквивалентной силы упругости опор платформы.

1. Определение приведённых жёсткостей начнём с опоры А:

Для четырёх опор эквивалентная пружина имеет жёсткость:

2. Для обеспечения поступадельного движения платформы необходимо сделать так, главный момент статических и динамических сил относительно главных центральных осей инерции платформы равнялся 0. Это может быть достигнуто, если точка приложения равнодействующей упругих сил, приложенных в опорах платформы, будет совпадать с центорм масс системы: платформа – электродвигатель – эксцентричная масса, а вертикальная составляющая центробежной силы инерции, обусловленной вращением эксцентричной масы будет проходить через центр масс системы. Горизонтальная составляющая центробежной силы инерции уравновешивается реакциями направляющих.

3. Для определения положения центра масс системы, а следовательно и точки закрепления эквивалентной пружины с жёсткостью с_Э, поступаем следующим образом. Выбираем прямоугольную систему координат. Начало координат располагаем в плоскости статического равновесия платформы, а оси OY и OZ направляем параллельно боковым граням платформы АВ и АС. Ось ОХ направляем вниз, перпендикулярно осям OY и OZ так, чтобы система координат OХYZ была правой.

В точке А с платформой свяжем прямоугольную систему координат AX₁Y₁Z₁, оси AY₁, AZ₁ которой параллельны соответственно осям OY и OZ; ось АХ₁ совпадает с осью ОХ.

В положении статического равновесия упругая сила эквивалентной пружины уравновесит суммарную силу тяжести платформы Р1, электродвигателя Р₂ и эксцентричной массы Р₃, т.е. .

Отсюда находим величину статического отклонения платформы:

4. Зная х_ст, находим:

;

5. Координаты центра масс системы определяем как:

2. Определение положения электродвигателя с эксцентричной массой на платформе.

1. Электродвигатель с эксцентричной массой на валу необходимо расположить на платформе так, чтобы центр масс системы находился в точке с координатами у_э, z_э.

2. Центр масс платформы имеет координаты:

Координаты у₂, z₂ центра масс электродвигателя находим из условий:

3. Для обеспечения поступательного движения платформы вдоль оси необходимо, чтобы линия действия вертикальной составляющей центробежной силы инерции, обусловленной вращением эксцентричной массы с постоянной угловой скоростью , проходила через точку с координатами , .

В этом случае расстояние между центром масс электродвигателя и точкой крепления эксцентричной массы определяем по формуле:

3. Вывод дифференциальных уравнений колебаний платформы.

1. Так как вертикальное движение платформы является поступательным, то её движение можно рассмотреть на примере движения какой-либо одной точки. За эту точку принимаем центр масс системы. Тогда, используя теорему о движении центра масс системы , получаем:

или

где а₁, а₂, а₃ – ускорения центров масс платформы, электродвигателя, эксцентричной массы;

g – ускорение силы тяжести; F_Э – эквивалентная упругая сила.

Проектируя левую и правую части векторного уравнения на ось ОХ, имеем:

и, учитывая, что:

Так как в положении статического равновесия платформы имеет место равенство: , то или

Поделив левую и правую части на и введя обозначения:

получаем неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее вертикальные незатухающие колебания платформы: .

получаем неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее вертикальные незатухающие колебания платформы: .

Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания с учётом сопротивления , имеет вид:

или ,

где ,

4. Исследование прямолинейных колебаний платформы.

Дифференциальные уравнения, описывающие прямолинейные колебания платформы, вызванные возмущающей силой , приводим к системе уравнений первого порядка. Для этого введём следующие обозначения:

Для определения закона движения решаем систему уравнений первого порядка. При решении используем программу «Решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта (прямолинейные колебания платформы)», составленную для персонального компьютера.

1. Для исследования свободных незатухающих колебаний платформы в представленной программе полагаем h=0, b=0.

Начальными данными для решения уравнений при t=0 являются: . Начальное и конечное значения аргумента: 0 и 0,1.

Результат решения используем для построения графика свободных незатухающих прямолинейных колебаний платформы. График представлен в приложении 1.

2. Для исследования свободных затухающих колебаний платформы задаёмся следующими значениями коэффициентов: b=32 c^–1 и b=52 c^–1. За начальные значения функций у(1) и у(2) принимаем значения этих функций, полученные в предыдущем расчёте для момента времени t=0,1 c: у(1)=0, у(2)=0

Начальное и конечное значения аргумента: 0 и 0,1. Используя полученное решение строим графики затухающих колебаний платформы при b=32 c^–1 и b=52 c^–1 (приложение 2).

3. Для исследования вынужденных колебаний платформы полагаем в программе h=5149 см/с², =220 рад/с, b=0, b=32 с^–1 и b=52 с^–1 . Начальное и конечное значения аргумента: 0 и 0,1.

Начальные значения функций у(1) и у(2) при t=0 принимаются равными 0. Результаты решения используем для построения графиков вынужденных колебаний платформы при b=0, b=32 с^–1 и b=52 с^–1 . Графики представлены в приложении 3.

5. Исследование коэффициентов динамичности и сдвига фазы.

При составлении программы вычислений коэффициента динамичности колебаний воспользуемся уравнением , где

После нескольких преобразований получаем формулы для вычисления коэффициента динамичности  и фазовой характеристики 

Результаты вычислений  и оформляем в виде графиков, представленных в приложениях 4 и 5. Графики коэффициентов динамичности и фазовой характеристики построены для значений b=0, b=32 с^–1 и b=52 с^–1 .

Библиографический список.

1. Методические указания к выполнению расчётно-графических работ по теоретической механике. Иванов А.Н., Ильиных Ю.П., Богданов И.А., Мадорская А.Ф. – Владимир: ВПИ, 1978.

2. Методические указания к выполнению расчётно-графических работ по теоретической механике: исследования прямолинейных колебаний платформы. Иванов А.Н., Кукина Р.А. Ковров: КТИ, 1994.

Яблонский А.А. и др. Курс теоретической механики. Ч. 2 – М.: Высш. шк., 1971.

Приложение 1

Продолжение приложения 1

Приложение 2

Приложение 3

Продолжение приложения 3

Продолжение приложения 3