2.4. Проекции плоских углов

Две пересекающиеся прямые образуют плоский угол.

Если угол расположен в плоскости, параллельной плоскости проекций, то он проецируется на нее в натуральную величину.

В общем случае плоский угол, стороны которого не параллельны плоскости проекций, проецируется на эту плоскость с искажением.

2.4.1. Теорема о проекциях прямого угла

Для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально в виде прямого угла, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере, одна из его сторон была параллельна плоскости проекций, а вторая – не перпендикулярна к этой плоскости (Рис.2.11а, б).

Рис. 2.11. Проекции прямого угла на эпюре:

А) на фронтальной плоскости проекции; б) на горизонтальной плоскости проекции

Доказательство: Пусть имеем в пространстве прямой угол ВАС. Проецируем его на плоскость Н ортогонально. Предположим, что сторона АВ данного угла параллельна плоскости Н. Тогда имеем: ВАС = 90˚; АВ || Н; АА_нН. Докажем, что В_нА_нС_н = 90º (Рис.2.12). А_нАВ = 90°, т.к. фигура АА_нВВ_н – прямоугольник. Следовательно, прямая АВ перпендикулярна к проецирующей плоскости Q как перпендикулярная к двум прямым этой плоскости (АВАС; АВАА_н). Поэтому АВQ, но А_нВ_н || АВ отсюда и А_нВ_н Q, а это означает, что В_нА_нС_н = 90º.

Рис 2.12 Проекция прямого угла

Задача: Определить расстояние от точки А до фронтали (Рис.2.13).

Решение. Прямой угол между искомым перпендикуляром и фронталью ВС проецируется в натуральную величину на плоскость V. Натуральная величина перпендикуляра АК может быть найдена методом прямоугольного треугольника.

Рис. 2.13. Определение расстояния от точки А до фронтали ВС

2.5. Ортогональные проекции плоскости

Плоскость представляет собой множество точек, которые при проецировании в общем случае покроют всю плоскость проекций, не давая на ней изображения. Поэтому плоскость в пространстве на проекциях определяют расположенные в ней элементы.

Рис. 2.14. Задание плоскости на эпюре

Такими элементами, определяющими плоскость, могут быть: три точки не лежащие на одной прямой (Рис.2.14а), прямой и не принадлежащей ей точки (Рис.2.14б), две параллельные прямые (Рис.2.14в), две пересекающиеся прямые (Рис.2.14г), плоская фигура (Рис.2.14д).

Кроме этого плоскость может быть задана следами (Рис.2.15а, б).

Рис. 2.15. Задание плоскости следами:

А) в диметрии; б) на эпюре

Прямые, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций называются следами плоскости. Р_н – горизонтальный след, Р_v – фронтальный след и Р_w – профильный след.

Точки Р_X, Р_Y, Р_Z называются точками схода следов.

2.5.1. Прямая и точка в плоскости

Задание плоскости на чертеже любым из перечисленных способов единственным образом определяет проекции всех точек и прямых, принадлежащих плоскости.

Прямая CD, проходящая через две точки C и D, лежащие в плоскости, заданной прямыми АВ и CD, принадлежит этой плоскости (рис.2.16).

Рис. 2.16. Принадлежность прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести в этой плоскости прямую. Если точка М принадлежит плоскости АВС (Рис.2.17а, б), то по одной заданной проекции М_н можно определить другую проекцию М_v и притом единственную.

Рис. 2.17. Принадлежность точки плоскости: