5.3. Пересечение многогранников с прямой линией

Решение этой задачи основано на известном определении точки пересечения прямой с плоскостью. Задача решается в следующей последовательности:

1. Ччерез прямую проводят вспомогательную плоскость (чаще всего проецирующую).

2. Строят фигуру сечения многогранника такой вспомогательной плоскостью.

3. Точки пересечения сторон многоугольника сечения с прямой, будут точками пересечения прямой линии с гранями многогранника.

Если прямая не пересекает многоугольник сечения, то она не пересекает и многогранник. При определении видимости прямой необходимо учитывать видимость точек пересечения: точки видимы, если лежат на видимых гранях.

Задача: Построить проекции точек пересечения прямой EF с пирамидой (рис. 5.8).

Решение:

• Через прямую проводим фронтально-проецирующая плоскость Р.

• Строим проекции линии пересечения этой плоскости с пирамидой (точки 1, 2, 3).

• Точки I и II пересечения сторон треугольника сечения с прямой EF являются точками пересечения этой прямой с гранями многогранника.

• Определяем видимость прямой EF относительно плоскостей проекций.

Рис. 5.8. Построение точек пересечения прямой EF

С пирамидой

5.4. Взаимное пересечение многогранников

Линия пересечения двух многогранников может быть построена двумя способами.

Первый способ состоит в определении точек пересечения ребер первого многогранника с гранями второго многогранника и ребер второго с гранями первого, т.е. задача сводится к многократному решению задачи по определению точки пересечения прямой с плоскостью.

Второй способ состоит в определении линий пересечения граней одного многогранника с гранями другого. Задача сводится к определению линии пересечения двух плоскостей. Преимущество отдается тому из способов, который в зависимости от условия задания дает наиболее простое и точное решение. Эти два способа построения линии пересечения двух многогранников часто комбинируют между собой.

Линия пересечения двух многогранников представляется в общем случае в виде пространственных замкнутых ломаных линий. В зависимости от вида многогранников и их взаимного расположения линией пересечения может быть одна, две и более ломаных линий (в частности могут быть и плоские ломаные линии). Отрезки ломаных линий являются отрезками прямых, по которым пересекаются грани двух многогранников. Вершины ломаной линии этой точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого, и ребер второго с гранями первого. Отрезки ломаной линии строятся как отрезки прямых, соединяющих только те пары вершин, которые принадлежат одной и той же грани первого многогранника, а также одной грани второго многогранника. Вершины ломаной линии соединяются при строгом соблюдении последовательности.

Задача: Построить линию пересечения прямой четырехугольной призмы с треугольной пирамидой (рис.5.9).

Рис. 5.9. Построение линии пересечения пирамиды и

призмы

Решение:

Призма своим основанием стоит на горизонтальной плоскости проекций Н. Горизонтальные проекции ее вертикальных ребер вырождаются в точки. Грани боковой поверхности призмы проецируются в отрезки прямых. Линия пересечения многогранников определяется по точкам пересечения ребер каждого из них с гранями другого многогранника. Так, ребро SA пирамиды пересекается с двумя вертикальными гранями призмы в точках 1(1_V,1_H) и 2(2_V,2_H).

Ребро SB пирамиды пересекает две вертикальные грани призмы в точках 3(3_V ,3_H) и 4(4_V, 4_H) и ребро SC – в точках 5(5_V, 5_H) и 6(6_V, 6_H). Из четырех вертикальных ребер призмы только одно пересекает пирамиду. Находим точки его пересечения с гранями пирамиды. Через это ребро и вершину S пирамиды проводим вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость Q. На рис.5.9 показан горизонтальный след этой плоскости Q_H. Плоскость Q пересекает пирамиду по двум прямым линиям SK и SF, которые пересекаются с ребром призмы в точках 7(7_V, 7_H) и 8(8_V, 8_H). Последовательность построения точек 7_V и 8_V на рис.5.9 показана с помощью стрелок.

Соединяя каждые пары точек, принадлежащих одной и той же грани, получаем две ломаные линии пересечения многогранников. Одна из них пространственная ломаная линия 137581, другая – треугольник 246 – плоская ломаная линия лежащая в грани призмы. Видимость линии определяем с помощью конкурирующих точек.