1.2.3 Метод Булирша–Штера

Этот метод применяется, когда решение системы дифференциальных уравнений имеет вид гладких функций и вместо функции rkfixed целесообразно применять функцию: Bulstoer(y, x1, x2, n, F)

Эта функция возвращает матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которых (в виде первых производных неизвестных функций) записана в векторе F(x,y) при заданных в векторе у начальных условиях и при решении на интервале от х1 до х2 для n точек решения, не считая начальной точки.

1.2.4 Метод стрельб (для решения краевых задач)

Пусть где k – некоторый параметр. Для некоторого пробного значения k может быть решена задача Коши, например, методом Рунге-Кутты. Полученное решение будет зависеть от значения параметра . Мы хотим найти такое значение параметра, чтобы выполнялось условие . Фактически мы свели исходную задачу к задаче решения трансцендентного уравнения с таблично заданной функцией. Если найдены такие значения параметра k1 и k2, что , то дальнейшее уточнение значения параметра можно проводить методом деления отрезка пополам.

1.3 MathCad. Функции решения дифференциальных уравнений и аппроксимация данных.

1.3.1 Общая характеристика MathCad.

Mathcad - программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, снабженная простым в освоении и в работе графическим интерфейсом, которая предоставляет пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами. В среде Mathcad доступны более сотни операторов и логических функций, предназначенных для численного и символьного решения математических задач различной сложности.

Mathcad является универсальной системой, т.е. может использоваться в любой области науки и техники - везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе Mathcad на языке, очень близком к стандартному языку математических расчётов, упрощает постановку и решение задач.

Mathcad интегрирован со всеми другими компьютерными системами счёта.

Mathcad позволяет легко решать такие задачи как:

· ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчётов или создания документов, презентаций, Web-страниц или электронных и обычных «бумажных» книг);

· проведение математических расчётов (как аналитических, так и при помощи численных методов);

· подготовка графиков (как двумерных, так и трёхмерных) с результатами расчётов;

· ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

· подготовка отчетов работы в виде печатных документов;

· подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;

· получение различной справочной информации

1.3.2 Функции решения дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных однородных дифференциальных уравнений (ОДУ) – с начальными условиями пакет Mathcad имеет ряд встроенных функций:

1. rkfixed – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

2. Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным шагом;

3. Bulstoer –функция решения ОДУ и систем ОДУ методом – метод Булирша–Штёра если заранее известно, что решением является гладкая функция.

Рассмотрим подробнее каждую из этих функций:

1. rkfixed(y, x1, x2, p, D) – возвращает матрицу первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – решения, первые n-1 производные. Функция возвращает матрицу, состоящую из 1+n строк. Аргументы функции: y – вектор начальных условий (k элементов); x1 и x2 – границы интервала, на котором ищется решение ОДУ; p – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение; D – вектор, состоящий из k элементов, который содержит первые производные искомой функции.

2. Rkadapt(y, x1, x2, p, D) – назначение параметров то же, что и для функции rkfixed. Существует несколько модифицированная функция rkadapt(y,x1,x2, acc,p,D,k,s) – где добавлены параметры k – максимальное число промежуточных точек решения; s – минимально допустимый интервал между точками; acc – погрешность решения (рекомендуется порядка 0.001).

3. Bulstoer(y, x1, x2, p, D) – назначение параметров то же, что и для функции rkfixed.