Введение

С внедрением вычислительной техники значительно упростился трудоемкий процесс математических расчетов. Поскольку появились специальные системы математического программирования, Которые позволяют проводить, как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, с высокой степенью точности. Это такие математические системы, как: Eureka, Mercury, MatLAB, MathCAD, Mathematica 2 и 3, Maple V R3 и R4 и др.

Наиболее удобная и простые в использовании являются системы MathCAD, которые позволяют производить численные и аналитические вычисления на общепринятом языке математических формул и графиков, т.е. не надо изучать дополнительные функции, что значительно упрощает диалог систем с пользователем. Так же системы имеют удобные и красочные графические оформления, что очень удобно и их по праву можно назвать самыми современными, универсальными и массовыми математическими системами. Более новые версии систем MathCAD позволяют готовить электронные уроки и книги с использованием новейших средств мультимедиа, включая гипертекстовые и гипермедиа-ссылки, изысканные графики (в том числе анимационные), фрагменты видеофильмов и звуковое сопровождение.

Системы MathCad - программный продукт, предоставляющий значительные возможности для разработки программ для решения инженерных задач, а также различного рода вычислениях, описанных в общепринятых математических терминах и обозначениях.

С помощью системы MathCad можно решать задачи во многих областях науки с любой степенью сложности. От постой школьной задачки до сложных задач по высшей математике, теоретической механике, физике, ТММ, электротехнике и др.

Темой проекта является исследование математической модели колебательного движения груза с виброгасителем.

В настоящее время в связи с широким применением математического моделирования имеются множество соответствующих программ расчета колебательного движения груза.

Для дальнейшего совершенствования и развития актуальными являются разработка и создание математических моделей указанных систем, отличающихся высокой степенью адекватности реальным объектам и позволяющим исследовать особенности переходных и аварийных режимов, сократить сроки проектирования и расходы на натурные эксперименты.

Применение неявных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений (ДУ) является более перспективным, поскольку с их помощью возможно получить устойчивое решение при моделировании колебательного движения груза с виброгасителем любой сложности.

1. Математическое моделирование

1.1 Понятие математической модели, их классификация и свойства.

Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследования с целью получения необходимой информации об объекте. Модель – это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Модель может быть представлена различными формами:

а) инвариантная – запись соотношения модели к методу решений уравнений модели;

б) аналитическая – запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели;

в) алгоритмическая – запись соотношений модели и выбранного метода в форме алгоритма;

г) схемная (графическая) – представление модели на некотором графическом языке;

д) физическая;

е) аналоговая;

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Математическая модель – совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. Математическая модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами.

Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью, которая оценивается степенью совпадения предсказанного в процессе эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными значениями. Они должны отображать физические свойства объектов, существенные для решения конкретных задач проектирования. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы.

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т. п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими переменными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Они позволяют аккумулировать накопленный опыт, используя описания всех существующих аналогов, известных из патентной литературы, и гипотетических объектов.

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений.

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные — на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический "черный ящик". Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).

При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа, Фурье и др.

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей.

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Характеристики многих элементов реальных технических объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным.

Свойства моделей:

• Конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

• Упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта;

• Приблизительность: действительность отображается моделью грубо или приблизительно;

• Адекватность: насколько успешно модель описывает моделируемую систему;

• Информативность: модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модел;

• Потенциальность: предсказуемость модели и её свойств;

• Сложность: удобство её использования;

• Полнота: учтены все необходимые свойства;

• Адаптивность.

Так же необходимо отметить:

1. Модель представляет собой «четырехместную конструкцию», компонентами которой являются субъект; задача, решаемая субъектом; объект-оригинал и язык описания или способ воспроизведения модели. Особую роль в структуре обобщенной модели играет решаемая субъектом задача. Вне контекста задачи или класса задач понятие модели не имеет смысла.

2. Каждому материальному объекту, вообще говоря, соответствует бесчисленное множество в равной мере адекватных, но различных по существу моделей, связанных с разными задачами.

3. Паре задача-объект тоже соответствует множество моделей, содержащих в принципе одну и ту же информацию, но различающихся формами ее представления или воспроизведения.

4. Модель по определению всегда является лишь относительным, приближенным подобием объекта-оригинала и в информационном отношении принципиально беднее последнего. Это ее фундаментальное свойство.

5. Произвольная природа объекта-оригинала, фигурирующая в принятом определении, означает, что этот объект может быть материально-вещественным, может носить чисто информационный характер и, наконец, может представлять собой комплекс разнородных материальных и информационных компонентов. Однако независимо от природы объекта, характера решаемой задачи и способа реализации модель представляет собой информационное образование.

6. Частным, но весьма важным для развитых в теоретическом отношении научных и технических дисциплин является случай, когда роль объекта-моделирования в исследовательской или прикладной задаче играет не фрагмент реального мира, рассматриваемый непосредственно, а некий идеальный конструкт, т.е. по сути дела другая модель, созданная ранее и практически достоверная. Подобное вторичное, а в общем случае n-кратное моделирование может осуществляться теоретическими методами с последующей проверкой получаемых результатов по экспериментальным данным, что характерно для фундаментальных естественных наук. В менее развитых в теоретическом отношении областях знания (биология, некоторые технические дисциплины) вторичная модель обычно включает в себя эмпирическую информацию, которую не охватывают существующие теории.