0552 / 4 Глава2

2 Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

Груз веса Р подвешен к нерастяжимой нити АВ, перекинутой через блок с неподвижной осью О. Вес блока F. Его масса распределена равномерно по поверхности круга, радиуса r. Конец нити В прикреплен к вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой равен С. Определить колебания груза, если в начальный момент груз находился в покое, его вес уравновешивался натяжением пружины и ему сообщили начальную скорость V0, направленную по вертикали вниз. Трением между осью блока и подшипниками пренебречь. Весом нити пренебрегаем.

Рисунок 2.1 - Схема устройства

В курсовой работе необходимо:

• в пакете MathCAD создать базовую модель;

• вычислить массу груза и блока, период свободных гармонических колебаний груза;

• на основании базовой модели вычислить функции перемещения, скорости и ускорения груза в зависимости от времени;

• построить графики функций перемещения, скорости и ускорения груза в зависимости от времени;

• исследовать влияние варьируемого параметра на перемещение и скорость груза;

• выполнить аппроксимацию полученных значений в зависимости от варьируемого параметра.

2.2 Описание исходных данных

V0 – начальная скорость, V0=5м/с;

F – вес блока, F=500Н;

P – вес груза, P=200Н;

C – коэффициент жесткости пружины, C=15000Н/м;

Варьируемый параметр - V0; варьируемый параметр принимает значения 5.5, 6, 6.5, 7, 7.5, 8, 8.5, 9, 9.5, 10 м/с;

Вид аппроксимации - линейная интерполяция.

2.3 Построение математической модели колебательного движения груза

Уравнение движения груза имеет вид:

(2.1)

Период колебаний:

(2.2)

Для того чтобы на исследуемом отрезке времени получить функции основных характеристик системы (перемещения, скорости и ускорения), нужно решить дифференциальное уравнение (2.1). Представим это уравнение в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, используя прием замены переменных:

(2.3)

В результате решения данной системы дифференциальных уравнений получим:

x(t) – функция перемещения груза в зависимости от времени;

x1(t) – функция скорости груза в зависимости от времени.

После подстановки найденных зависимостей во второе уравнение системы (2.3) можно определить значение функции ускорения системы.

2.4 Графическая схема алгоритма и ее описание

В первом блоке производится инициализация исходных данных и параметров математической модели колебательной системы.

Во втором блоке производится расчет параметров математической модели (масса груза и блока, период свободных гармонических колебаний груза). Затем, в третьем блоке, решается дифференциальное уравнение движения груза. Результатом решения уравнения будут являться зависимости перемещения, скорости и ускорения груза в зависимости от времени. В четвертом блоке по полученным данным строятся соответствующие графики.

В пятом блоке анализируется зависимость амплитуды движения груза от его начальной скорости. Для каждого значения начальной скорости груза решается система дифференциальных уравнений (2.3) для получения зависимости перемещения и скорости от времени.

В шестом блоке строятся сводные графики функций перемещения и скорости груза при изменении его начальной скорости.

В седьмом, восьмом блоках по полученным значениям строятся графики зависимости локального экстремума перемещения и скорости груза от его начальной скорости.

Рисунок 2.2 – Графическая схема алгоритма построения и анализа математической модели