2.8 Проверочный расчет выходного вала цилиндрического прямозубого и косозубого редукторов

Расчет проводят в следующей последовательности:

по чертежу вала составляют расчетную схему, на которую наносят все внешние силы, нагружающие вал, приводя плоскости их действия к двум взаимно перпендикулярным плоскостям;

определяют реакции опор в горизонтальной и вертикальной плоскостях. В этих же плоскостях строят эпюры изгибающих М_х и М_у и крутящего М_z моментов;

устанавливают опасные сечения, исходя из эпюр моментов и размеров сечения вала, производится расчет на прочность.

Порядок проверочного расчета рассмотрим на примере выходного вала проектируемого редуктора.

2.8.1 Проверочный расчет выходного вала цилиндрического

прямозубого редуктора

2.8.1.1 Расчетная схема. Исходные данные

Расчетная схема вала и выбранная система отсчета представлены на рис. 2.7.

Рис. 2.7 Расчетная схема вала

Исходные данные:

диаметр вала под колесом d_K = 47,5 мм;

вращающие моменты М₁ = М₂ = Т₂ = 114,6 Н·м;

радиальная сила F_r = 417 Н;

окружная сила F_t = 1146 Н.

Считая, что силы в зацеплении сосредоточенные и приложенные в середине ступицы, по компоновочной схеме определяем:

ℓ₁ = ℓ₂ = ℓ_р2/2 = 72/2 = 36 мм; ℓ₃ = ℓ_П2 - ℓ_р2 = 171-72 = 99 мм.

2.8.1.2 Определение неизвестных внешних

нагрузок – реакций в опорах

Вал подвергается изгибу и кручению одновременно. В плоскости УОZ – вертикальной плоскости, действуют силы реакции в опорах R_Ay , R_By и радиальная сила F_r. Реакции в опорах определяются путем решения уравнений равновесия:

1) , R_By(ℓ₁ + ℓ₂) - F_r ℓ₁ = 0,

откуда

R_By = Н.

2) ; F_r ℓ₂ – R_Ay(ℓ₁ + ℓ₂) = 0,

R_Ay = Н.

Проверка правильности определения опорных реакций

3) , R_Ау – F_r + R_Ву = 208,5 – 417 + 208,5 = 0.

В плоскости ХОZ – горизонтальной плоскости, действуют силы реакции в опорах R_Ax, R_Bx и окружная сила F_t. Реакции опор определяются решением уравнений равновесия:

1) ; R_Bx (ℓ₁+ ℓ₂) - F_t ℓ₁ = 0;

R_Bx = Н;

2) ; F_t ℓ₂ – R_Ax (ℓ₁ + ℓ₂) = 0;

R_Ax = Н.

3) Проверка: ; R_Ax – F_t + R_Bx = 573 – 1146 + 573 = 0.

Силы реакции опор определены верно: R_Ax = 573 Н, R_Ay = 208,5 Н,

R_Bx =573 Н, R_By = 208,5 Н.

Суммарные реакции опор (реакции для расчета подшипников):

R_rА = = 610 Н;

R_rB = = 610 Н.

2.8.1.3 Определение изгибающих и крутящих моментов по длине вала

и построение эпюр М_х(z), М_у(z)

При расчёте изгиба с кручением нет необходимости в определении поперечных сил R_у(z) и R_x(z) , так как они не учитываются при расчете на прочность.

Для построения эпюр М_х(z), М_у(z), М_z(z) разбиваем вал на три участка и методом сечений определяем эти функции.

Участок 1: 0 ≤ z ≤ ℓ₁;

М_х⁽¹⁾ = R_Аyz; М_у⁽¹⁾ = R_Аxz; М_z⁽¹⁾ = 0;

при z = 0 (точка А): М_х⁽¹⁾ = 0; М_у⁽¹⁾ = 0; М_z⁽¹⁾ = 0;

при z = ℓ₁ = 36 мм: М_х⁽¹⁾ = 208,5 ∙ 0,036 = 7,5 Н·м.

М_у⁽¹⁾ = 573∙0,036 = 20,1 Н·м.

М_z⁽¹⁾ = 0.

Участок 2: ℓ₁ ≤ z ≤ (ℓ₁ + ℓ₂);

М_х⁽²⁾ = R_Аyz – F_r(z - ℓ₁);

М_у⁽²⁾ = R_Аxz – F_t(z - ℓ₁);

М_z⁽²⁾ = М₁= - 114,6 Н;

при z = ℓ₁ = 36 мм:

М_х⁽²⁾ = 208,5·0,036= 7,5Н·м;

М_у⁽²⁾ = 573· 0,036 = 20,1 Н·м;

М_z⁽²⁾ = - 114,6 Н;

при z = (ℓ₁ + ℓ₂) = 72 мм:

М_х⁽²⁾ = 208,5· 0,07 – 417 (0,072-0,036) = 0;

М_у⁽²⁾ = 573·0,07 – 1146 (0,072-0,036) = 0;

М_z⁽²⁾ = - 114,6 Н.

Участок 3: (ℓ₁ + ℓ₂) ≤ z ≤ (ℓ₁ + ℓ₂ + ℓ₃);

М_х⁽³⁾ = R_Аyz - F_r(z - ℓ₁) + R_Вy(z - ℓ₁ - ℓ₂);

М_у⁽³⁾ = R_Аxz – F_t(z - ℓ₁) + R_Вx(z - ℓ₁ - ℓ₂);

М_z⁽³⁾ = -114,6 Н·м;

при z = (ℓ₁ + ℓ₂) = 72 мм:

М_х⁽³⁾ = 208,5· 0,072 – 417· 0,036 + 208,5· 0 = 0 Н·м.;

М_y⁽³⁾ = 573· 0,072 – 1146· 0,036 + 573· 0 = 0;

М_z⁽³⁾ = -114,6 Н·м;

при z = (ℓ₁ + ℓ₂ + ℓ₃)= 171 мм:

М_х⁽³⁾ = = 208,5· 0,171 – 417· 0,135 + 208,5·0,099 = 0;

М_у⁽³⁾ = 573·0,171 – 1146· 0,135 + 573· 0,099 = 0;

М_z⁽³⁾ = -114,6 Н·м.

Так как все функции линейные, они графически выражаются прямой линией, для нахождения которой достаточно определить значения в начале и конце каждого участка (таблица 2.7).

Таблица 2.7

Значения изгибающих и крутящих моментов в поперечных сечениях вала

Расчётный параметр	У ч а с т к и
	1-й		2-й		3-й
	0	36 мм	36 мм	72 мм	72 мм	171 мм
1	2	3	4	5	6	7
Мх, Н·м	0	7,5	7,5	0	0	0
МУ, Н·м	0	20,1	20,1	0	0	0
МZ, Н·м	0	0	114,6	114,6	114,6	114,6

По полученным на границах участков значениям моментов строим эпюры М_х(z), М_у(z) , М_z(z) (рис. 2.8).

Из эпюр следует, что опасным является нормальное сечение, проходящее через точку «С», в котором М_х = 7,5 Н·м; М_у = 20,1 Н·м,

│М_z│ = 114,6 Н·м.

Рис.2.8 Эпюры М_х(z), М_у(z) , М_z(z)

2.8.1.4 Выбор материала. Расчет вала на статическую прочность

Основными материалами для валов служат углеродистые и легированные стали (таблица 44 [Р. 10]). Для большинства валов применяют термически обработанные среднеуглеродистые и легированные стали 45, 40Х.

Так как в проектируемом редукторе шестерня изготовлена как одно целое с валом, то материал вала В1 тот же, что и для шестерни - сталь 40Х с характеристиками для заготовки с d ≤ 120 мм (таблица 44 [Р.10]):

σ_В = 900 Н/мм², σ_Т = 750 Н/мм², τ_Т = 450 Н/мм²,

σ_-1 = 410 Н/мм², τ_-1 = 240 Н/мм², НВ = 270.

Для изготовления выходного вала В2 выберем сталь 45 с характеристиками для заготовки с d ≤ 80 мм (таблица 44 [Р. 10]):

σ_В = 900 Н/мм², σ_Т = 650 Н/мм², τ_Т = 390 Н/мм²,

σ_-1 = 380 Н/мм², τ_-1 = 230 Н/мм², НВ = 270.

При расчете на статическую прочность условие прочности S_Т ≥ [S]_Т, где S_Т – коэффициент запаса прочности по текучести; [S]_Т = 1,3…1,6 – допускаемый коэффициент запаса прочности по текучести.

Коэффициент запаса прочности по текучести определяется по формуле

S_Т = , (2.36)

где К_П = 2,5 – коэффициент перегрузки;

σ_экв. – эквивалентное напряжение, определяемое по формуле

σ_экв = , (2.37)

где W – осевой момент сопротивления сечения, для вала круглого сечения W ≈ .

Эквивалентный момент М_экв. = .

Результирующий изгибающий момент

М_u = .

Изгибающие и крутящие моменты в опасном сечении (рис. 2.8):

М_х = 7,5 Н∙м; М_у = 20,1 Н∙м; │М_z│= 114,6 Н∙м.

Тогда результирующий изгибающий момент

М_и = Н∙м;

эквивалентный момент

М_экв. = Н∙м;

эквивалентное напряжение

σ_экв = Н/мм².

Коэффициент запаса прочности по текучести

S_Т = >> [S]_Т = 1,3…1,6,

т.е. статическая прочность вала обеспечивается с большим запасом.

2.8.2 Проверочный расчет выходного вала цилиндрического

косозубого редуктора