МММСС (От Кувыркина Г.Н.) / 33

XX

где nα — направляющие косинусы внешней нормали к этой площадке. В случае не равных между собой всех главных напряжений, когда σ1 > > σ3, наибольшее касательное напряжение τmax = (σ1 −σ3)/2 возникает в площадке, параллельной оси OX2 и равнонаклоненной к двум другим главным осям, т. е. при n2 = 0 и n21 = n23 = 1/2. Действительно, при n2 = 0, обозначая n21 = z и учитывая, что в этом случае n23 = 1 − z, из (68) получаем τn2 = σ12z + σ32(1 − z) − σ1z + σ3(1 − z) 2 и в соответствии с необходимым условием экстремума τn2 по z приходим к указанному результату.

Пример 5.2

Тензор напряжений в окрестности точки P в декартовых осях Ox1x2x3 имеет компоненты

Определить главные напряжения и главные оси тензора напряжений, с которыми будет связана система осей координат Ox1x2x3.

Главные напряжения σ определяют из уравнения

3 − σ 1 1

1 −σ 2 = 0,

1 2 −σ

или в развернутом виде

(σ + 2)(σ − 4)(σ − 1) = 0.

Главные напряжения являются корнями этого уравнения: σ3 = −2, σ2 = 1, σ1 = 4. Пусть ось Ox3 совпадает с осью главного напряжения σ3 и пусть n(3)i — направляющие косинусы этой оси. Тогда,

(3 + 2)n(3)1 + n(3)2 + n(3)3 = 0,

32

n(3)1 + 2n(3)2 + 2n(3)3 = 0, n(3)1 + 2n(3)2 + 2n(3)3 = 0.

Отсюда n(3)j = 0, n(3)2 = −n(3)3 , а так как nini = 1, то (n(3)2 = 1/2. Поэтому

n)3)1 = 0, n(3)2 = 1/√2, n(3)3 = −1/√2.

Пусть точно так же ось Ox2 соответствует главному напряжению

σ2. Тогда

2n(2)1 + n(2)2 + n(2)3 = 0, n(2)1 − n(2)2 + 2n(2)3 = 0, n(2)1 + 2n(2)2 − n(2)3 = 0,

так что n(2)1 = 1/√3, n(2)2 = −1/√3, n(2)3 = −1/√3.

Пусть, наконец, Ox1 соответствует σ(3). Тогда

−n(1)1 + n(1)2 + n(1)3 = 0,

n(1)1 − 4n(1)2 + 2n(1)3 = 0,

n(1)1 + 2n(1)2 − 4n(1)3 = 0,

так что n(1)1 = −2/√6, n(1)2 = −1/√6, n(1)3 = −1/√6. ]

Пример 5.3

Непосредственным вычислением найти инварианты I1σ, I2σ, 31σ тензора напряжений

6−3 0

σij = −3 6 0 .

00 8

Найти главные напряжений для этого напряженного состояния и показать, что диагональная форма приводит к тем же самым значениям инвариантов.

Непосредственным вычислением находим:

I1σ = σii = 6 + 6 + 8 = 20.

I2σ = 1/2(σiiσjj − σij σij) =

=σ11 σ22 + σ22 σ33 + σ33 σ11 − σσ12 σ12 − σ23 σ23 − σ31 σ31 =

=36 + 48 + 48 − 9 = 123.

33

I3σ = det(σij = 6(48) + 3(−24) = 216.

Значения главных напряжений тензора напряжений σ1 = 9, σ2 = 8, σ3 = 3. Инврианты, подсчитанные через главные значения напряжений, равны

I1σ = σ1 + σ2 + σ3 = 9 + 8 + 3 = 20,

I2σ = σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1 = 72 + 24 + 27 = 123,

I3σ = σ1 σ2 σ3 = (72)3 = 216.

]

6. Законы сохранения количества движения и момента количества движения среды

Обобщая закон сохранения количества движения материальной системы на случай сплошной среды, можно с учетом первого равенства (30) записать

Левая часть (69) соответствует скорости изменения во времени t век-

тора количества движения Qv среды, занимающей в актуальной кон-

фигурации область объемом V , ограниченным поверхностью S (ρ и v — плотность среды и вектор скорости ее частиц соответственно). Правая часть (69) равна главному вектору системы сил, характеризуемых в данном случае векторами p и b плотности поверхностных и объемных сил соответственно. Необходимо отметить, что (69) является основным постулируемым динамическим соотношением механики сплошной среды, аналогичным закону Ньютона в механике материальной точки.

Для средней части (69) с учетом (38) и (40) получим

VV0

Отметим, что проведенное преобразование с учетом (43) и выражения dϕ/dt = ∂ϕ/∂t+ v ·rxϕ полной производной (нижний индекс x у диффе-

ренциального оператора Гамильтона rx означает дифференцирование

35

на шаровую часть и девиатор и показать, что первый инвариант девиатора равен нулю.

Имеем

σ0 = σkk/3 = (12 + 9 + 3)/3 = 8,

причем sii = 4 + 1 − 5 = 0. ]

Представим уравнения движения в материальных координатах. Для этого преобразуем левую часть (72) с учетом (38), (40) и (61):

где ρ0 и b◦i — плотность среды и проекции вектора b◦ = J b·Hbт плотности объемных сил на оси Oai системы материальных координат; Hb —

пространственный градиент деформации; NJ — проекции на оси Oai

единичного вектора N внешней нормали к поверхности S0, ограничивающей область V0, занятую средой в начальной конфигурации; Tjk —

компоненты тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа Tb. Отсюда сле-

дует локальная формулировка закона сохранения количества движения в этих координатах:

Пример 5.5

Определяющие уравнения для некоторой сплошной среды имеют вид

σij = (−p + λDVkk)δij + 2µDVij ,

37

Отсюда при mV = 0 и mS = 0 следует eijkσjk = 0, т. е. σij −σji = 0, что соответствует симметрии тензора σb, а с учетом (66) — и симметрии тензора Tb. При наличии моментов, распределенных по объему и/или по поверхности тела эта симметрия в общем случае отсутствует.