МММСС (От Кувыркина Г.Н.) / 55

1

Математические модели термоупругой сплошной среды

Сплошную среду, в которой при внешних механических воздействиях в состоянии покоя наряду с нормальными напряжениями могут возникать и касательные напряжения, в механике принято называть твердым телом. Если эти воздействия не приводят к возникновению деформации, то говорят об абсолютно твердом теле, а в противном случае — о деформируемом твердом теле. Среда обладает свойством упругости, если она после снятия механического воздействия возвращается в первоначальное состояние (твердое тело полностью восстанавливает свои размеры и форму).

Помимо механического воздействия среда может испытывать и тепловое воздействие, которое приводит к изменению ее температуры, что вследствие теплового расширения вызывает появление температурной деформации. В этом случае при сохранении средой свойства упругости принято говорить о термоупругой сплошной среде. Математические модели такой среды широко используют в инженерных приложениях, поскольку большое количество реальных технических устройств в процессе изготовления, испытаний и эксплуатации подвергается совместным механическим и тепловым воздействиям. При изменении температуры среды во времени процесс ее деформирования

называют неизотермическим.

1. Классическая термоупругость

Рассмотрим деформируемое твердое тело — термоупругую сплошную среду, имеющую хотя бы одно естественное состояние, в котором отсутствуют напряжения и деформации, а температура во всех точках одинакова. В этом состоянии тело занимает объем V , ограниченный поверхностью S, а положение любой частицы M V тела задает ра-

диус-вектор x(M) с координатами xi(M) (i = 1, 2, 3) в прямоугольной системе координат Ox1x2x3.

Пусть в начальный момент времени t = 0 среда в естественном состоянии имеет абсолютную температуру T0 = const. При отклонении температуры T (x,t) от значения T0 в теле возникают температурные деформации, определяемые тензором температурной деформа-

2

где α(T ) — компоненты тензора α(T ) второго ранга, называемого

ij b

тензором коэффициентов температурной деформации. Так-

же линейной будем считать связь между компонентами σij тензора σ

напряжений и компонентами εij тензора ε малой деформации, котоиндексам

того ранга, называемого тензором коэффициентов податливо-

сплошную среду считают линейно-упругой. При этом εij = ε(ije), где

— компоненты тензора bε(e) упругой деформации. Совокуп-

ность значений σij и εij характеризует напряженно-деформирован-

ное состояние такой среды.

Использование тензора малой деформации предполагает, что эйле-

рово и лагранжево описания движения сплошной среды эквивалентны.

При этом считают, что положения частиц сплошной среды в началь-

ной и актуальной конфигурациях совпадают, т. е. xi = ai, где ai —

материальные координаты частицы. В этом случае полная производная d(·)/dt по времени t совпадает с частной производной ∂(·)/∂t, а плотность ρ не зависит от t. Эти допущения, иногда объединяемые термином принцип начальных размеров, лежат в основе построе-

ния математических моделей (ММ) так называемой классической термоупругости.

Если при изменении температуры среды в ней не возникает напря-

циентов упругости. Умножая обе части (2) на компоненты этого тензора, получаем соотношения

3

элементу. Поэтому и тензоры Sb и Cb имеют не более 21 независимой компоненты и характеризуют общий случай анизотропной линейной термоупругой сплошной среды. Если при этом температурная деформация отсутствует, то среду называют анизотропной линей-

но-упругой.

Значения компонент тензора Cb (и элементов матрицы C) зависят от ориентации осей выбранной системы координат. Если поворотом системы координат симметрическую матрицу C удается привести к виду

т. е. число ненулевых независимых элементов этой матрицы равно 9, то в этом случае среду называют линейной термоупругой ортотропной, а соответствующие координатные оси — главными осями ортотропии. В частном случае C11 = C22 = C33, C12 = C13 = C23 и C44 = C55 = C66 = (C11 − C12)/2 имеем линейно-упругую изотропную среду, упругие свойства которой зависят всего от двух независимых параметров, обозначаемых λ = C12 и µ = (C11 − C12)/2 и называемых константами Ламе. В этих обозначениях компоненты тензора Cb для изотропной среды принимают вид

При отсутствии температурной деформации говорят о линейно-упру-

гой изотропной среде.

В случае изотропной линейной термоупругой среды

В инженерных приложениях µ отождествляют с модулем сдвига

(модулем упругости второго рода): G = µ, а в качестве дру-

гого независимого параметра часто используют модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода, или модуль Юнга) E.

Эти модули и константы Ламе связаны соотношением E = 2G(1 + ν) =

= µ , где ν — коэффициент Пуассона. В некоторых случаях

в качестве двух независимых параметров удобно использовать G и

4

модуль объемной упругости (модуль всестороннего сжатия)

ния p к объемной деформации εV = εii, взятое с обратным знаком. Вместо (1) для изотропной линейной термоупругой среды получим

ε(ijT ) = α(T ) T δij, где α(T ) — температурный коэффициент линейного расширения. Тогда с учетом температурной деформации обобщенный закон Гука примет вид

где ui и bi — проекции вектора u перемещения и вектора b плотности объемных сил на оси координат Oxi. Для изотропной, но неоднородной среды из (8) следуют уравнения

которые в случае однородности изотропной среды переходят в уравне-

ния Ламе

В качестве начальных условий для уравнений в перемещениях обычно задают в теле векторные поля перемещений u◦(M) и скоростей v◦(M) (M V ) в начальный момент времени t = 0, поэтому

Поверхность S тела может иметь участки Su S, на которых могут быть заданы так называемые кинематические граничные условия

5

где uei — проекции на оси координат заданной векторной функции u(N,t) перемещения точек поверхности. На остальных участках Sp =

=S \Su поверхности тела силовые граничные условия вида σji (N)nj (N) =

=p◦i (N) следует представить при помощи соотношений Коши, (1) и (3) через перемещения:

где nj — направляющие косинусы единичного вектора внешней нормали к поверхности; p◦i — проекции на оси координат заданной векторной функции p◦(N,t) плотности поверхностных сил. Для изотропной сре-

К уравнениям движения в перемещениях необходимо добавить уравнение для нахождения в теле температурного поля T (M,t), M V .

+ qV + δD, если массовую плотность энтропии h и диссипативную функцию δD выразить при помощи массовой плотности свободной энергии A через абсолютную температуру T .

В разложении функции A(εij,Θ) свободной энергии, где Θ = T − T0 , в

T0

ряд Тейлора относительно параметров естественного состояния εij = 0 и T = T0 (Θ = 0) ограничимся квадратичными слагаемыми:

Такой подход наряду с допущением о малости компонент тензора деформации предполагает и малое отклонение T от T0, т. е. |Θ| 1.

Примем, что в естественном состоянии A(0,0)=0. Согласно равен-

также можно положить равной нулю. Тогда с учетом (1), (3) и (13)

6

поскольку в естественном состоянии при εkl = 0 и T = T0 напряжения отсутствуют. В итоге вместо (13) запишем

где B(T ) включает все слагаемые, зависящие только от температуры. С учетом (14) для диссипативной функции из закона сохранения

энергии получим

постоянной деформации, Дж/(кг·К); qi — проекции вектора q

где cσ = cε + T Cijklαkl(T )αij(T )/ρ — удельная массовая теплоемкость при постоянных напряжениях, которую, как правило, и опре-

деляют в теплофизических экспериментах, поскольку ее измеряют у

образцов материалов в ненагруженном состоянии. Для изотропной среды αij(T ) = α(T ) δij и cσ = cε + 3T (3λ + 2µ)(α(T ))2/ρ = cε(1 + γT ), где

γT = T κ(αV(T ))2/(ρcε), αV(T ) — температурный коэффици-

ент объемного расширения. У большинства металлов параметр γT при температуре T = 293 К мал (табл. 1), что свидетельствует о незначительном различии между cσ и cε. В большинстве инженерных приложений допустимо считать cε = cσ и при ρ = const для деформируемого твердого тела использовать удельную объемную теплоем-

кость cV = cερ, Дж/(м3·К).

7

В соответствии с принципом равноприсутствия представим компоненты вектора плотности теплового потока в виде линейной функции

qi = βijkεjk − λ(ijT )ϑj + γi(T − T0) + gi реактивных переменных: компо-

нент εjk тензора малой деформации, приращения T = T −T0 темпера-

туры и проекций ϑi = ∂T /∂xi градиента температуры (βijk, λ(ijT ), γi и gi — компоненты тензоров соответственно третьего, второго и первого рангов). При выполнении равенства δD = 0 эти тензоры следует вы-

было выполнено при произвольных значениях реактивных переменных, т. е.

Достаточными условиями выполнения этого неравенства являются ра-

b

ся элементами неотрицательно определенной симметрической матрицы третьего порядка; r — дифференциальный оператор Гамильтона, вы-

ражает закон Био — Фурье для анизотропной среды. Для изотропной среды λ(ijT ) = λ(T ) δij, где λ(T ) — ее теплопроводность.

Подставляя (17) в (15), получаем уравнение теплопроводности

описывающее нестационарное распределение температуры в анизотропной термоупругой среде с учетом влияния скорости изменения деформации как частного случая термомеханической связанности. В

9

Если на поверхности S заданы лишь силовые граничные условия, а начальные условия заданы в напряжениях, то целесообразно в ММ перейти от перемещений к напряжениям. Для этого в шесть независимых

условий совместности деформаций подставим (2) и получим

Эти уравнения необходимо рассматривать совместно с уравнениями движения среды, которые после исключения из них перемещений при помощи соотношений Коши и (2) принимают вид

В случае изотропной и однородной среды при не зависящих от температуры коэффициентах из (23) с учетом (6) находим, что

Для изотропной среды (24) можно представить с учетом перемены индексов и соотношений (6) в виде

Из двух последних соотношений следуют шесть дифференциальных уравнений волнового типа